Андрей Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде, в семье профессора Политехнического института. Закончил Школу-студию МХАТ в 1965 году и был принят в труппу театра «Современник». Первой серьезной ролью молодого артиста стала роль Алеши Карамазова в картине Ивана Пырьева «Братья Карамазовы» (1969). В 1977 году Андрей Мягков перешел из «Современника» во МХАТ.
Творчество артиста было отмечено различными наградами. В 1986 году ему было присвоено звание народного артиста РСФСР. В 1977 году Мягков был удостоен Государственной премии СССР за роль Жени Лукашина в фильме «Ирония судьбы, или с легким паром», в 1979 году - Государственной премии РСФСР за роль Анатолия Новосельцева в картине «Служебный роман».
Творчество артиста было отмечено различными наградами. В 1986 году ему было присвоено звание народного артиста РСФСР. В 1977 году Мягков был удостоен Государственной премии СССР за роль Жени Лукашина в фильме «Ирония судьбы, или с легким паром», в 1979 году - Государственной премии РСФСР за роль Анатолия Новосельцева в картине «Служебный роман».