задача на комбинаторность
КАк вы решите такую задачу: Четыре ученика сдали свои домашние работы учителю на проверку, но ни один из них не подписал свою работу.
Учитель проверил четыре работы и раздал ученикам случайным образом. (Каждый ученик получил только одну работу.)
Сколько может случиться (самое большее) таких вариантов, что ни один из учеников не получит свою работу?
Спасибо.
спасибо. а можете пояснить, а то у меня другой ответ получается, а хочется разобраться)
нашла про субфакториал))) получается и правда 9. а вы с помощью его поняли? или есть попроще способ?
я считала так - вероятность того, что первый ученик не получил свою тетрадь - 3/4. То есть, если он получил не свою тетрадь, а чужую, то тот, чью тетрадь он получил, тоже не получил свою тетрадь. То есть этой вероятностью мы обеспечили, что два ученика получили чужие тетради.
Осталось двое. Вероятность того, что они получат не свои тетради - 1/2 (понятно почему). Чтобы эти события были одновременно, перемножаем вероятности, получаем 3/8.
Всего исходов 24.
24*3/8=9
23 способа.
4 числа можно переставить 4! (факториал, не путать с воскл. знаком)=4*3*2*1+24 способами. Один из них - верный вариант раздачи контрольных. Это цепочка 1234.
Значит, 24-1=23
Согласна с этим способом
Из Вики
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4!=24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
Не забывайте, что каждый должен получить чужую работу!
Получается, что ваш первый столбик (там, где A первая) не подходит целиком, т.к. не может получить свою работу. И еще куча неподходящих вариантов в других столбиках. Остается всего 9 правильных.
Не, чтоб НИ ОДИН не получил. А у вас получается, что если, например, двое получили свои, а двое чужие работы, то этот вариант посчитается. А он не должен считаться. По идее 9 - правильно.
Пока мне не пришло в голову ничего умнее, чем числа 1 2 3 4 размещать так что бы ни одно из них не стояло на своём месте, и посчитать, сколько получится вариантов:
4 3 2 1
4 3 1 2
4 1 2 3
3 1 4 2
3 4 1 2
3 4 2 1
2 1 4 3
2 3 4 1
2 4 1 3
Вы не все варианты написали, например:
4 1 3 2
4 2 3 1
4 2 1 3
Правильно через факториал, выше писали
4123 не подходит, т.к. 3 на своем месте
4231 - 2 на своем
4213 - опять 2 на своем
ИМХО, Няша правильно решила.
Возможно 9 вариантов.
Всего существует 10 вариантов раздачи (4+3+2+1), 1 из них - верный, следовательно 9 - максимально.
Кто там считает, что 23 - вы слишком оторваны и от практики, и от теории.
Не совсем согласна.
1)вариантов раздачи как раз 24. 4!=1*2*3*4 (а не складывать). Но нас НЕ интересует НЕ ТОЛЬКО верный выриант (он, как Вы правильно заметили 1), а ЛЮБОЙ вариант, в котором хоть одна тетрадь оказалась у хозяина!
На мой взгляд, самым наглядным будет решение, в котором рисуется дерево возможных вариантов, то есть на первое место можно разместить 3 числа: 2, 3, 4.
На второе место в первом случае можно поставить 1 или 3 и т.д., расставляем остальные значения, получится как раз 9 возможных вариантов.
А самый простой способ, воспользоваться субфакториалом.
Еще, скорее всего, лучше говорить не "задача на комбинаторность", а "задача по комбинаторике" или "комбинаторная задача".
Автор, если Вам ещё надо, я выпила кофе, и допетрила до нормального решения)))))
4! - возможные варианты раздачи
C1(4) - (Це один и четырех - Це сверху единичка снизу четверочка) - свою тетрадь получить один из учеников
C2(4) - свою тетрадь получат двое
C3(4) - .....
И того:
Ой, там 24-4-6-4-1=9
Ещё минус один единственный вариант, что все свои тетрадки получат!
Здесь простой субфактериал !4=9.
Вики рулит http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%B1%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB
