Было дело, задачки решали гурьбою.
Что-то от безделья торкнуло.
Подсунул Дзен задачку, 2 часа решал, решил еле-еле (подзабыл школьную геометрию, ее азы), уже совсем в себе сомневаться стал.
Вы сможете?
На схеме отмечены пара известных углов и то, что два отрезка равны (отмечены на рисунке).
Надо найти все остальные углы. Дерзайте!!!
Модераторы, не переносите пожалуйста тему в образование.
В том разделе гораздо меньше образованных женщин, чем здесь. :)))
Уточните, какой угол равен 100 градусам, а какой= - 35. . Далее спойлер.
Углы при вершинах трапеции q и r - 115.
Углы при основании трапеции p и s - 65.
Угол RPS - 25
Остальное не могу вычислить, ока не разобрала, какие 2 угла имеются в виду.
SQP и SRP - треугольники, у которых равны две стороны и угол ( вписанный в окружность треугольник на диаметре всегда прямоугольный). Следовательно, они равны, и равны их высоты. А если равны высоты и боковые стороны - то это равнобокая трапеция.
Это практически очевидно. Проблемы у меня начались с верхней частью рисунка, там угол в 35 градусов.
Решал не самым простым способом, делал дополнительные построения. Наверняка есть более простой путь.
Пробуйте. Не все так просто, как кажется на первый взгляд.
У меня затык возник на определении значения угла KPJ
Да уже в принципе всё посчитала.
Потому что угол QRS - 115, значит QUS -65. QUP - 25.В треугольнике PIJ углы, соответственно, 25, 80, 75.
Отсюда вычисляем PJU - 105, JPU - 50 и KPJ - 15. Выше обсчиталась, написала 5.
впервые похожую задачу увидела в вариантах вступительного экзамена по математике у психологов МГУ в 1992 г. В справочнике для поступающих "МГУ-1993" есть два аналогичных варианта.
в решении используется теорема о том, что на хорды равной длины опираются равные вписанные углы (отсюда легко выводится теорема о том, что если трапеция вписанная, то она равнобедренная). судя по этому чертежу потребуется утверждение о равенстве угла между хордой и касательной и соответствующего вписанного угла.
у психологов по условию требуется еще найти какой-то из отрезков, поэтому нужно было знать утверждение о связи длины хорды с радиусом и величиной вписанного угла, который эта хорда стягивает.
оффтоп. кого-то к дви по математике в мгу готовите? ;)
увидела еще, что отмечен диаметр, значит, любой треугольник, опирающийся на диаметр, прямоугольный. т.е. еще один угол знаем и т.д.
Можно добавить ;) С вершиной в точке Q, например.
Так что, их количество по большому счету неважно...
Да, вы правы. Кстати, совсем не помню, проходили ли в школе эти свойства углов и окружностей.
ОФФ. Просто интересно. Обидно не решить школьную задачу.
проходят или нет это в школе, к сожалению, зависит от школы. мы проходили...
кстати теорема про вписанный угол и угол между хордой и касательной элементарно доказывается. именно это я всегда проделываю, чтобы не напрягать память и чтобы наверняка ;)
в программе для поступающих в мгу по математике это есть. вам ли не знать :party3
также это есть во всех пособиях по геометрии для поступающих.
Так в школе-то я учился 40 лет назад, забылось многое. (((
Про программу для поступающих в МГУ мне точно не знать, потому что во-первых в МГУ не поступал, и, во-вторых, когда поступал, то к поступлению вообще не готовился, в моей деревне слова "репетитор" в 81г. не знали. И вступительной программой не интересовался, просто поехал - и поступил кое-как, еле-еле. :)))
Вся подготовка - заочное самостоятельное решение задачек из ЗФТШ при МФТИ. Сознаюсь, что часто терпел фиаско при их решении.
Не, не физфак. Самый простой факультет физтеха. Хороший вуз, с классными преподавателями, с хорошей внутренней атмосферой в то время, с большой свободой. Чуть ли не единственный ВУЗ в советское время, где вступительные экзамены полностью сдавали все, в том числе и медалисты, причем в июле, а не в августе. И было этих экзаменов 5, а не 4, как в других вузах, но при этом балл по русскому языку не суммировался к баллам по профильным дисциплинам (математика и физика, и письменный и устный по обеим предметам). По русскому в сочинении оценивалось не содержание, а грамотность по принципу "лишь бы не двойка". :)
Никак.
Более того, когда сдал документы, чуть опоздав в первый поток, выяснилось, что у меня до начала экзаменов что-то около 10 дней. Ну и уехал домой, на улице лето, тепло, мотоцикл, девушки... что время-то терять - так и прогонял на мотоцикле эти 10 дней. :)))
Учебник открыл только на вокзале, когда ждал поезд в Москву. :))))
Повезло разгильдяю, честно.
Школьный, других у меня не было. :)
По физике, потому что первый экзамен был письменной физикой.
На котором и случился первый конфуз: было решено всего 2 задачи из 4-х, закономерный трояк в итоге.
Одну не решенную задачу до сих пор помню: стоит сосуд с параллельными стенками, в него налита жидкость, оптическая плотность которой изменяется линейно по высоте. Надо понять, как ведет себя луч света, падающий перпендикулярно стенке сосуда. Отличнейшая задача, с простейшим решением в два действия, если понимаешь суть того, что там происходит. До меня дошло уже после экзамена, когда шашками махать было поздно. :)
какие еще дела, ишь барин какой, все ему дела и дела, а болтать кто будет?
я -- барыня!!!
на "поболтать" время вышло. теперь ухожу командовать :animal2
обалдела, тут люди гЕметрию решают, а она командовать пойдет? А углы кто будет измерять, а в круг запихивать. Чтобы вернулась вечером как штык и решила все.
Сумму углов треугольника, прямой угол, опирающийся на диаметр, вертикальные углы вообще в 6-м.
О! Любителей геометрии прибыло! Советую поставить приложение Euclidea. Очень залипательное.
На первый взгляд нетрудно, но муторно. Все углы около точки P определяются тривиально, остальное по цепочке должно вытащиться. И да, нарисовано так, чтобы вводить в заблуждение.
Там два угла обозначены. И два равных отрезка.
+ то, что точка О - центр окружности, на которой выполнены все построения.
Классная задачка, решается легко, если знаешь свойства взаимно связанных углов, хорд и окружностей (дуг).
Я их не знал, поэтому пришлось проковыряться достаточно долго и вначале получить эти свойства.
Ответ пока не выкладываю, чтобы не лишать людей удовольствия поскрипеть мозгом.
Задания пишутся с обозначением углов:
На приведенном рисунке точка O является центром круга. Рисунок схематичный.
GH – касается окружности в точке P.
PS - диаметр, а PQ = RS.
PHPQ = 25 °, ∠PIQ = 100 ° и ∠UPT = 35 °.
Найдите все остальные углы на рисунке.
А я так и не смог найти ту ночную ссылку на ДЗЕН. Закрыл и потерял.
Именно так там и было написано + то, что задачка из Австралии вроде бы.
Как раз на первый взгляд муторно. Но если повглядываться, то становится видно, что куда. Но муторно, да))))
Сейчас некогда, но потом обязательно порешаю. Полный кайф посидеть над задачей, а потом она бац, и решилась. Но это физматовское прошлое дает о себе знать, видимо.
Завтра. :)
Но та задача сурова, я ее так и не решил, слабоват оказался.
А может просто что-то просмотрел.
А можно вторую без первой?) Первая нудная, полагаю, там через прямые углы вписанных треугольников все можно раскрутить
Ваше решение с моим и решением Артемис не бьется.
И проверку не проходит: величины углов PSU и PQU одинаковые. Это навскидку.
этого недостаточно. только вписанный угол, опирающийся на диаметр, будет прямым.
и обратно: любой вписанный прямой угол опирается на диаметр.
эта теорема доказывается с использованием определения величины центрального угла как величины соответствующей дуги, им стягиваемой. отсюда легко выводится, что величина вписанного угла равна половине соответствующего центрального. и поскольку только диаметр делит окружность на две равные дуги, то и два вписанных угла с разных сторон диаметра будут прямыми.
как следствие идет также теорема о том, что сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам, что не означает, что каждый из углов всегда будет прямым.
не, не паралле-м, а прямоугольник, я описалась.
Не знаю какой формулой подтвердить, но чую :-)
Постройте четырехугольник с противоположенными углами по 90, а два других-не 90.
Сложите ромб из двух прямоугольных треугольников с углами 30-90-60)
Будет четырехугольник с углами два по 90, 60 и 120
PS Пардон, не ромб, конечно, о чем я))))
Например, такой. Мы с этим уже сталкивались в прошлых задачах, помню, я тогда тоже с таким заблуждением попалась)
вписанный угол PUQ равен углу между хордой PQ и касательной PH, т.е. 25. Этому же равен и любой другой вписанный острый угол, опирающийся на хорду PQ или RS, поэтому угол RTS опять должен быть равен 25, а не 10, как у Вас.
Именно с углов, опирающихся на эти хорды, и можно было бы начать вычисления. Потом добавить прямые углы (те, что опираются на диаметр) и все считается в течение нескольких минут.
Также неправильно вычислены острые углы, опирающиеся на дугу (хорду) TS: у Вас острый угол TPS равен 30, а TRS = 45??? Они должны быть равны, поскольку стягивают одну и ту же дугу.
Как отмечено выше, судя по всему используется неверное утверждение о том, что углы UPR и USR прямые, т.к. UR -- НЕ диаметр.
Разве хватает данных? В средних треугольниках там где зеленый справа и желтый слева не хватит одного куска катета
Хватает. Чистая теорема Пифагора, последовательно снизу вверх. Быстро надоедает эта лесенка.
Мне бегло показалось, чт там затык будет в одном месте. Тогда неинтересно. Сижу подобия ищу, не буду значит)
Я там на пальцах, в уме прошел несколько уровней, потом надо было калькулятор искать, прошел один уровень с калькулятором. И бросил. Не дошел до затыка, может он и есть, но терпение кончилось раньше.
не так страшен черт...
все случилось без калькулятора: x=26. используются, кажется, только целочисленные треугольники 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17 и им подобные.
чертеж не очень правдоподобный: внизу два-три треугольника 6,8,10 (большой темно-зеленый и два одинаковых, с общей гипотенузой небольших темно-голубой и светло-голубой) не выглядят одинаковыми :(
думаю, можно в верхнем зеленом треугольнике ввести две неизвестные и выписать цепочки теорем пифагора сверху. в какой-то момент цепочки сверху и снизу встретятся и получится необходимая система для нахождения этих неизвестных.
называется "задача для попки": сижу на попе и считаю.
скуШно :chr2
Ну, кроме наборов (3,4,5) и (5,12,13) для целочисленных примеров применения теоремы Пифагора я там еще один набор увидел, но, к сожалению, не запомнил.
Небольшая подсказка к первой задаче.
Вернее инструментарий для ее решения https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm
или покороче https://uztest.ru/abstracts/?id=11&t=6
Выношу отдельно вопрос, возникший из 1й задачи :
если в четырехугольнике два противоположенных угла прямые, то это может быть не прямоугольник?
Желательно с рисунками
Ответила выше, сюда тоже напишуhttps://eva.ru/topic/77/3595534.htm?messageId=101084353
Еще задача. Сама пока не решала.
Данная задача была создана Эдвардом Манном Лэнгли в 1922-м году. Он был британским математиком и основателем газеты Mathematical Gazette, где он и опубликовал свою задачу.
Её назвали сложнейшей из простых задач по геометрии, а всё потому, что любой может её решить, используя лишь логическое мышление и элементарные знания в геометрии (например, что сумма всех углов в треугольнике 180 градусов или что если два угла у треугольника равны, то треугольник равнобедренный).
Вы меня опередили....
Именно ее я не смог решить с двух попыток и собирался выложить сюда сегодня. Надо решаться на третью.
Не выкладывайте пока решение.
Прикол в том, что я ночью решила на бумажках "каля-маля", сегодня стала красиво рисовать-и не получается повторить решение, в самом конце теряю что-то, а на бумажках "каля-маля" разобрать не могу.
Видать, вечером опять буду решать, а то позор-решение выложить не могу :-)
Третью попытку делаю. Опять ступор. Не задача, а чертовщина какая-то. :)
Что-то под носом не вижу, в плену этой волшебной разбивки углов с шагом в 10 град нахожусь.
Я посидела ночью несколько часов, поняла, что в тупике, и спать надо тоже, и смалодушничала - нашла разбор этой задачи аж в википедии:).
Хочется найти более простое решение, чем у великих умов человечества, но что-то мне подсказывает, что нет его:)
Нет! Это не наш путь!
Я сейчас через теорему синусов пытаюсь продраться. Мешает то, что позабыл всю тригонометрию накрепко.
Получился ответ? Супер. Я не добила.
Но это в любом случае не легче, чем у источника, который использует для решения сумму углов треугольника и равносторонние/равнобедренные треугольники.
Получился. Уравнение для решения: sin(x+20)/sin(x)=2cos(40) - не очень сложно выглядит и решается в принципе.
Из других треугольников уравнения будут сложнее наверное на вид.
Просто я и в школе не знал всего богатства тригонометрических функций. Увы, не учили этому.
Супер. Мне кажется сложным, я не помню формул разложения для sin (a+b), такие есть?
Они там через доп построение до равностороннего треугольника решают, и дальше ответ в три строчки. Но это надо быть гением, чтобы додуматься..
Это даже сейчас помню. Но в тригонометрии оказалась масса полезных готовых формул, про которые раньше даже не слышал.
Мое решение не изящное, увы. Нашел готовые решения построениями от умных людей в интернете.
Что самое интересное, сам делал подобные построения, но не увидел в них просвета, а он был!!!
Углы пересечения CF и BE 70/110, угол ВЕС 40 град. Угол ВАС вычисляется легко- 20 град, треугольник ВАЕ - равносторонний - два угла 20 град, следовательно угол FEA- 140 г
ред =. ошибка ща)
Не знаю. Ответ такой получить не могу.
Мой ответ в в виде арккотангенса от такого выражения, что хочется немедленно застрелиться.
Решил. Но пришлось прибегнуть к справочнику, формулы которого как по волшебству "развалили" тригонометрическую многоэтажную дробь до числа 1/кв.корень(3), соответственно угол равен 30 градусам.
В общем задача решилась не рисованием вспомогательных линий и треугольников, а банальной манипуляцией с формулами.
Интересно, сможет кто-нибудь найти решение исходя из, допустим, подобия треугольников.
Я в похожей парадигме решала, только он делит угол 60 на 20 и 40, а дорисовывала угол 40...
Сегодня не смогла. Завтра еще попробую :-)
Как то вчера у меня получилось 70/80/30...
Еще одна подобная задача.
Чертеж приведен без соблюдения масштаба.
Несколько лет назад, эту задачу напечатали в тесте из 12 вопросов для проверки IQ. И тут началось самое интересное. Её никто не смог решить!
Первым шагом я бы перерисовал рисунок. Невозможно решать с рисунком, где 20 градусов почти равны 60
Задачка на вид более сложная. Нет такого богатства равнобедренных треугольников, как в предыдущей.
У меня с налету не получилось решить через тригонометрию, как предыдущую.
А с построениями и их анализом полный швах. (((
Я поторопилась, приняла желаемое за действительное. А так у меня хорошее построение, и я верю, что через него все найдется) Но пока нет)))) Добью
80-80-20 просто волшебный треугольник. На неделе еще одна задачка на его свойства попалась.
Выложу попозже, если будут желающие еще его покрутить. Через тригонометрию ее решил, через построения - увы, руки кривые.
Сложные видимо задачи.
Оттуда же попроще чуть-чуть.
Задачка по геометрии: Есть два квадрата. Найдите площадь зелёной фигуры
На рисунке вы видите два квадрата и один отрезок, соединяющий две вершины этих квадратов, тем самым образовывая новую фигуру.
Также известно расстояние между двумя другими вершинами квадратов - 6 см (см. картинку).
Чему равна площадь фигуры, окрашенная в зелёный цвет?
Простое условие, красивая задача.
В прямоугольнике расположены два прямоугольных треугольника.
Длины трех отрезков известныв и обозначены на рисунке.
Собственно надо найти стороны квадраты.
СПОЙЛЕР
++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++
25 и 50/3
Шикарная новая задача!
Решается в уме, в одно действие - дерзайте, приводите ум в порядок, получайте удовольствие от собственной находчивости.
Учитель математики из Великобритании Катриона Ширер любит в свободное время составлять геометрические головоломки. Вот одна из них:
Квадрат разделён на пять прямоугольников одинаковой площади.
Известно, что ширина синего прямоугольника равна 2 см.
Надо найти площадь квадрата.
Смотрите, под синим прямоугольником лежат три прямоугольника, их площадь, соответственно, три площади синего. Разместите на их месте мысленно три синих друг над другом. :)
И что тут решать? - осталось 2 умножить на 4, чтобы узнать сторону квадрата.
Маскировка очень здорово автором задачи выполнена...
но квадратов-то два? Или нет, я сидела и тупила, что квадрат надо узнать внутренний?
А что там узнавать-то? Площадь внутреннего 36. Задача для третьего класса начальной школы. Если не второго. Элементарная. Вот первая задача с углами - это да...
Я не вычисляла площадь прямоугольника отдельно, я просто показываю вам, что квадратов, кроме внешнего там нет.
Площадь одного прямоугольника 12,8.
Это не вы написали?
Мне просто интересно, как вы ее вычислили?
Когда я уже знаю ответ задачи 64, я могу посчитать площадь каждого прямоугольника. Это 64:5
Здорово) Но через уравнение тоже можно, если это не уловить. Или если надо объяснить тем, кто не понял)
Да конечно. Я тоже вначале уравнения писал. Это наиболее привычный путь. Но не самый простой.
Можно записать уравнением ваше решение. Х - оставшийся неизвестный кусок стороны квадрата, У - длина синего.
Тогда X*У = 2*У*3
X=6
у меня ответ через sin 45 и tg 27,5. Может и ошиблась где-то, надо переписать начисто
Я шел той же нерациональной дорогой, через тригонометрию, только "довел" ее до конца. Но сделал это неверно, ответ неправильный.
На самом деле ответ очень простой, эффектное решение без тригонометрии вообще. Я его не нашел, прошел совсем рядом, в итоге подсмотрел чужое решение, увы.
Тригонометрия в принципе тоже должна давать правильный ответ, но надо аккуратно пройти через все преобразования.
Да. Я его сам не нашел, полез в тригонометрические дебри, а оно было перед глазами, но, увы, не увидел.
Да, вы нашли то самое решение. Красивое.
Для тех, кто еще не знает синусов и тангенсов. :)
А те, кто знают, исписали три листа бесполезными расчетами)
Я еще так с задачей, которая выше, сижу. День - перечерканный линиями чертеж. Но все вокруг одного и того же, вокруг тех же углов и треугольников, никак не могу выбраться из них и посмотреть с другой стороны
Еще геометрия.
Все условия на рисунке: на зеленый квадрат наложено три цветных квадрата. Узнать, во сколько раз площадь красного меньше площади зеленого.
Вначале показалась сложной, а потом смог решить в уме.
Даже визуально видно, что не в 5. Как решали? Я не в уме, как обычно), так что могу показать расчет
Да, я не догадалась в уме треугольник 1,5 и 2 превратить в 3 и 4))
Но там все равно цифры удобные, даже с дробями
Так и я не сразу догадался. Зато когда разбитый на равные отрезочки отрезок приравнял 6 единицам, сторона зеленого квадрата стала 10 сразу, а посчитать квадрат гипотенузы треугольника со сторонами 2 и 4 не особо сложно. ))
Очередная геометрия.
Прямоугольники одинаковые, надо найти угол.
Удалось решить без бумажки, сделав пару мысленных построений.
зачем пару? СПОЙЛЕР
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
достаточно одного :)
обозначим верхнюю вершину наклоненного прямоугольника буквой С, тогда треугольник АСВ прямоугольный, т.к. опирается на диаметр. В нем катет АС вдвое меньше гипотенузы АВ, следовательно, угол АВС равен 30 градусам. На катете ВС лежит диагональ второго прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольника, следовательно, угол между этой диагональю и горизонтальной стороной искомого угла равен 30. Поэтому искомый угол 150.
Ребенок сейчас готовится к дви по математике в мгу, а я его тренирую. так шта это - семечки :cool1
Да, вы правы. Все очевидно, но тем не менее очевидное просмотрел.
Нижний квадрат вообще прилеплен для отвода глаз решающего. :)
Не понимаю, а как можно без нижнего квадрата? Если там прямоугольник, то угол будет любым.
Ничего подобного. Там может быть что угодно, или вообще ничего.) А угол всегда будет одним и тем же, размер верхнего квадрата значения не имеет, имеет значение только его квадратность.))
Вы говорите про угол 75?
Этот да, но без нижней фигуры задача кургузая получится, а с прямоугольником угол между диагоналями будет другим. Мы же его искали
Нижняя фигура нарисована просто для отвода глаз, именно чтоб от "кургузости" избавиться, после того, как будет найден угол 75 гр.
Поэтому и надо упомянуть, что это квадрат. Иначе решения не будет. А вы говорите, что он не используется.
В решении не используется. По конец просто прибавляется 45 гр. Там может быть прямоугольник с нарисованным конкретным углом.
Нет, та же самая. Представьте, что у вас в задаче сказано к получившемуся углу ( сейчас это 120 гр) прибавить еще 10. Ну и что, это как-то поможет решить задачу?
Ну вы хотите сказать, что 45 градусов легко посчитать. Угол 60 градусов у равностороннего треугольника посчитать не сложнее. В этом состоит задача.
Послушайте, не в обиду Свану, но эта задача действительно очень простая, проще всех предыдущих, нет подвохов, и все углы последовательно ищутся так же просто, как 45 в квадрате. Решите другую, там выше есть одна, которая не получилась ни у кого. https://eva.ru/topic/77/3595534.htm?messageId=101089731
Непременно, но как работы поменьше будет. И не такое решала в топе о китайских задачах.
Ну вы решили хотя бы не устно? А то время потрачу, а вы опять о своем - типа ручкой на бумажке каждый может.
Нет, я не решила даже ручкой на бумажке. Я вообще все считаю на бумажке, не хватает оперативной памяти делать устно)
И я всегда начинаю с проставления известных углов (поэтому задача выше не была сложной), и в этой непонятной задаче знаю уже все углы во всех комбинациях и всех доп построениях, кроме искомого. Если решите, скажу спасибо, потому что периодически к ней возвращаюсь, надоела уже)
Сейчас нарисую и выложу построение без выкладок.
Надо еще расшифровать мой ночной бред. :)
Особенно интересно построение. У меня и трапеции и прямоугольные треугольники, чего только нет))
Построение удобное, только не могу пока понять, почему АВ1=АО1. То есть, из чего следует, что треугольник А1В1О1 равносторонний? ПС хотя нет, это как раз очевидно
А вот дальше непонятно)))
Он так построен изначально. Линия СО1 продолжена за пределы изначального треугольника, из вершины А на нее опущен перпендикуляр, потом выстроен треугольник АСВ1, который равен изначальному треугольнику. И сравниваются изначальный треугольник и вновь построенный.
Ищутся соответствия между разными углами одинаковых треугольников. И получается, что неизвестному углу Х в изначальном треугольнике соответствует угол АОЕ во вновь построенном треугольнике. Который известен в изначальном и равен 30 градусам. Отсюда следует, что точка 01 лежит на отрезке ЕВ1. (из-за легкого несоблюдения масштаба на моем рисунке этот отрезок выглядит ломаным)
В общем классная задачка!!!
Потому что углы при основании равнобедренного треугольника по 60 град. Значит все углы в нем 60 град, значит он равносторонний. :)
В процессе решения этой задачки сама собой решилась запасная задача, в которой надо было доказать, что АО1 равно ВС. Так что нет у меня больше задач про этот "чертов" треугольник. :)
Нет оснований, да. Но построенный треугольник тождественен изначальному. И отрезок В1Е в посроенном треугольнике есть эквивалент отрезка ВЕ. А отрезое Е01 в изначальном есть эквивалент отрезка ЕО во вновь построенном. Значит углы между ними равны. И равны 30 град. И отсюда следует, что О1 лежит на отрезке ЕВ1.
Присмотритесь! )))
У меня букв на рисунке не хватает для более внятных объяснений.
Но уверен, что вы сможете сами более аккуратно оформить словами мою идею.
Я не хочу словами, пытаюсь равенством треугольников). Треугольники равны, да, эквивалентность ВЕ и В1Е можно обосновать тем, что равны три угла, значит они подобны, равна одна сторона (основание), значит и эти равны. Но то, что О1 лежит на этом отрезке мы только предполагаем.
Это предположение не является необходимым в рассуждениях. Но в итоге это оказывается именно так.
Отличная задача, радуюсь тому, что удалось ее решить.
Вы на него опираетесь в рассуждениях, когда доказываете равенство маленьких треугольников. Если точка О1 не лежит на ВЕ, то нет маленького треугольника с углом Х и со стороной на отрезке ВЕ
Точка О в треугольнике АБС соответствует точке О1 в треугольнике АСВ1. И если в первом случае она лежит на стороне ВЕ, а это так, то и во втором случае она должна лежать на стороне ЕВ1. Больше ей лежать негде.
Я не придираюсь:), просто несколько раз получала такого рода рисунки, и упиралась именно в обоснование.
Смотрите, вот такое построение: Отложили луч С (10 градусов), продлили EO1, точку пересечения назвали В1.
Из чего следует, что треугольник В1СА равнобедренный?
Из того, что изначально по построению АВ1 было перпендикулярно лучу С01. И углы при вершине С по 10 град. Т.е. СО1 и биссектриса и высота одновременно. Т.е. я изначально новый треугольник рисовал на стороне АС старого трегольника, чтобы он был тождественным треугольнику АВС. А потом уже полезли сами собой свойства из сравнения треугольников.
Сэкономил я на буквах при обозначениях.
Тогда нет отрезка B1Е. Есть отрезки B1O1 и ЕO1. А вы строите рассуждение на равенстве ВЕ и В1Е
Есть отрезок. Чуть выше написал обоснование. Треугольники одинаковые по построрению, второй специально строился так, чтобы быть дублем первого. И если в изначальном треугольнике точка О лежит на отрезке ВЕ, то и в построенном треугольнике она ДОЛЖНА лежать на отрезке ВЕ1.
Не могу я слово должна в решении принять)))
Попробовала описать.
Треугольник дубль первого, согласна. Какие для этого сделаны действия -
1) отложили 10 градусов и сделали биссектрису высотой. Да, идентичные треугольники с равными сторонами и углами.
Дальше какое построение, чтобы говорить про идентичность?
Проведем луч 60 градусов из B1, он пройдет через точку О1 (это как раз доказывается равенством треугольников)
И где-то пересечет сторону АС в точке Е1. Мы не знаем, что она совпадает с Е. И она не должна:)
Опять же через равенство треугольников получаем, что СЕ = АЕ1.
Но это все равно не подтверждает, что Е совпала с Е1.
Жалко нет времени, но вечером попробую обосновать дальше.
А я тут готовлю обоснование, чтобы вас уговаривать... )))
Если принять, что отрезок содержит точку O1 и х=30 правильный ответ,
то треугольники B1ЕA и BEC равны.
Тогда стороны В1Е и BE равны. Но сторона BE равна ЕА.
И получается что это B1E=EA, BE=EC - то есть треугольники равнобедренные. А они нифига не равнобедренные.
Значит угол Х 30 градусов не может быть. Вообще.
(я вспомнила, что как-то уже раньше мне это уже попадалось в доп построениях такое вроде очевидное, и я уже писала, что ответ 30 градусов, а потом спохватилась, не может он быть 30)
Нет, мой ответ неправильный, я сам смог обосновать свою ошибку, она достаточно очевидна.
Там меньше 30 град угол, скорее 20 наверное (из пальца). Решения нет.
Жаль, если честно. Она мне уже осточертела)) Но через углы и построения всегда получается вот это все.. Где-то там собака зарыта совсем другая
Через тригонометрию решается задача.
20 град ответ. (решение через задницу (подбором т.е.) уравнения sin(x+30)=2sin(50)*sin(x+10), полученного из теоремы синусов).
Т.е. у задачи как минимум одно решение есть.
Построениями никак не получается.
Там всегда квадрат и всегда 45 град.
Собственно и сверху всегда 75 град. вне зависимости от величины верхнего квадрата, но это надо еще доказать. И доказательство это крайне простое при известной наблюдательности (человек выше это показал)
По изначальному условию там два квадрата. Нижний квадрат нужен для того, чтоб "тень на плетень" навести, визуально усложнить задачу.
Как в любой задаче. Мы ищем угол между диагоналями. Вы говорите, что упоминание квадрата было лишним. Но при этом используете угол 45 градусов, то есть информация о квадрате лишней не была.
Просто нарисовали так. Это излишнее условие.
Угол квадрата всегда будет на одной линии лежать (у меня она прямее, чем в исходной картинке, поэтому чуть отклоняется).
Ну решите без этого условия. Нижняя фигура не квадрат. Найдите угол между диагоналями. 
Если в решении какая-то фигура не участвует, то да, это излишнее условие. Если речь не идет о задаче для первоклассников, конечно, где надо знать угол диагонали квадрата и это круто.
Ну так решите задачу выше. Условия о том, что это квадрат, убрали, оно излишнее и фигура участия не имеет.
По моему мнению, "квадрат не при делах", по мнению Сваана, он для отвода глаз. С ним я согласна, а вы занимаетесь демагогией.
Он для самой задачи. Есть диагонали фигур. И угол между ними, который мы ищем. Без упоминания квадратности данных для ответа не хватит.
Марс права.
Без указания, о каком именно нижнем прямоугольнике идет речь, ответ не получить, т.к. угол между диагональю прямоугольника и его стороной зависит от соотношения сторон этого прямоугольника (тангенс этого угла как раз и есть отношение сторон, определяющее прямоугольник).
Как без указания сторон и их отношения вы сможете вычислить угол? Чему равен угол, если отношение сторон (тангенс угла) равно 3 или 5 или 10?
Вы знаете только несколько табличных значений тангенсов, а остальные... в ответ не подставишь :(
Формально на сам метод получения ответа форма прямоугольника не влияет, но хороший (в смысле "красивый") ответ таким образом можно получить не всегда.
Мы сегодня с дитятей решали задачу, в которой искомое в задаче отношение получилось 4sin(Pi/10)cos(Pi/5) И кто бы мог подумать, что это все произведение дает 1 :think.
Нашли другой способ решения, очень красивый геометрический, не потребовавший конкретных величин углов. А так тоже сначала обрадовались, что задача решена.
Мне теперь очень интересно, как решение с тригонометрией оценивалось в тот год в МГУ. Формально должны бы были засчитывать, ведь ошибок в решении нет. НО "если задачу можно решить проще, ее нужно решать проще!" :chr2
На экзаменах на мехмате никогда не снижали оценки за сложное решение, если все действия были записаны, следовали одно и другого, и ответ получался верный.
Я только не поняла, а как вы получили, что 4sin(Pi/10)cos(Pi/5) = 1? Преобразованиями?
1) дочь на калькуляторе (научном) посчитала.
2) вычислили все остальные углы и получили равнобедренный треугольник, отношение сторон которого и требовалось найти. т.е. все вычисления углов были проведены верно (они как раз и были совсем простыми, только не табличными ;) )
Ну в этом случае - с калькулятором - может засчитали бы частично, и то вряд ли, им надо другое, калькуляторы не предусмотрены, а ответ с Пи не окончательный.
нет, вы не поняли: ответ с пи окончательный, правильный, только не красивый. все равно, что писать (a^2-b^2)/(a-b). писать-то можно, только нормальные люди сокращают и пишут a+b, чтобы огород не городить.
Он, конечно, окончательный, если мы решаем практическую задачу и нам нужно число, тогда берем калькулятор и вычисляем.
Но в задачах на экзамене ответ cos (Пи) не будет полным ответом, какие-то баллы снизят. .
Наверное, если бы получилось что-то типа sin (Пи/17), то это был бы ответ. Но таких задач там не бывает)
не факт, что обязательно снизят.
я сейчас посмотрела свои записи: в тот год за шесть решенных задач из восьми ставили 95 баллов.
это значит, что задачу по планиметрии могли оценивать лояльно, т.к. число решивших достаточное количество задач было невелико.
т.е. сначала могли поставить плюс-минус, потом (т.к. решивших было мало) поднять до плюса с точкой (ведь формально ошибок в решении нет), а его при подсчете плюсов всегда считают за целый :party2
Ну вы же сами с дочкой увидели, что есть лаконичное решение, которое приводит к нормальному ответу. Вот оно и было бы полный плюс:). Я сейчас попыталась преобразованиями через формулы двойного угла упростить ваш ответ с пи, что-то не выходит ничего, не получается единица, все забыто напрочь)))
Еще было правило на письменном экзамене - задачи, которые никем из абитуриентов не решены, из оценки убирали. Я не решила последнюю задачу - стереометрию, даже пытаться не стала. Все ждала, вдруг никто ее не осилил)
А сейчас сдают внутренние экзамены? Наверное, одно из самых захватывающий событий было в моей жизни, письменный экзамен)))
да. это называется Дополнительное Вступительное Испытание. чтобы поступить на мехмат, нужно сложить три егэ (русский, математика, физика) и добавить оценку дви по математике. в прошлом году проходной был около 340.
на вмк складывают математику+русский+физику+информатику+дви, и проходной балл в 2019 был около 440 (точно не помню).
я в свое время на мехмат сдавала четыре экзамена при поступлении: математика письменно, математика устно, сочинение и физика. больше всего устная математика понравилась и запомнилась :)
вот я какая немолодая :oops
Я такая же немолодая, устный был интересен при подготовке, я такие шедевры научилась решать, сейчас бы, наверное, не справилась. Но меня спрашивали такую ерунду, что не запомнился ничем, кроме пятерки:) А вот письменный был крут.
мой вариант экзамена по письменной математике есть в этой книжке https://obuchalka.org/2017120597834/zadachi-vstupitelnih-ekzamenov-po-matematike-nesterenko-u-v-olehnik-s-n-potapov-m-k-1980.html
можете свой тоже поискать, поностальгировать ;)
в этой книжке есть все четыре варианта вступительных по математике в мои годы, а в более поздних изданиях -- только по два варианта из четырех дававшихся. моего варианта там уже не найти, только аналогичный :)
По этому как раз готовилась, я позже поступала. А разве были варианты? Уже стерлось из памяти, вроде все решали одно и то же...
долгое время (до примерно 2015 г.) вариантов по математике всегда было четыре. до 2011 факультеты, которые проводили экзамен по математике, писали каждый свои четыре варианта.
с 2011 все, кому нужно было сдавать математику при поступлении, стали писать одну и ту же работу. т.е. по-прежнему четыре варианта, но уже без разницы на какой факультет.
а где-то в 2016 (могу ошибаться ;)) садовничий в целях борьбы с утечкой вариантов изменил количество вариантов: осталось 4 раза по 8 задач, но сгруппированы в варианты они были несколькими способами. абитуриентам все равно, а вот экзаменаторам нагрузка увеличилась в несколько раз, т.к. раньше проверяли по вариантам (сидит команда и проверяет только первый вариант, другая команда -- второй вариант и т.д.), а теперь экзаменатор в момент проверки работы должен уметь решать все 32 задачи :dash1
вот это было весело :chr6 объясняется решение только одного варианта, а ты на проверке сидишь и решаешь все возможные. при этом задачи по планиметрии, как известно, на вступительном не самые простые, и решить их можно разными способами... и если абитуриенты поступают на вмк-мехмат, то они обязательно начинают решать эти задачи... и каждый как может генерирует свои гениальные идеи ;)
в общем, проверять работы тоже может быть занимательно и интересно :animal2
Шикарная простая задача.
Но нужна будет бумажка и карандаш.
Надо найти угол при вершине прямоугольного треугольника.
15) (если не напутала в спешке) Милое решение))
------------
Могу выложить, если кому-то интересно, оно у меня записано
Не надо выкладывать. Решение действительно занятное, пусть желающие получат удовольствие от решения.
15.......................................................
все свелось к уравнению 5х+х=90
Тоже 15. Решение не выкладываю, но в итоге получается уравнение: 180-10х+4х=90, х=15
Сумма углов в треугольнике 180 градусов.
В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
В развернутом угле 180 градусов.
Принимаете искомый угол за Х.
Рассматриваете первый треугольник. Один угол Х, второй угол Х, третий (180-2Х).
Во втором треугольнике один угол 2Х (=180 - (180-Х)), второй 2Х, третий (180-4Х).
И так поднимаетесь до пятого треугольника.
Это к чему цифра относится? Если к последней задачке, то у меня там 15 получилось. Вы щедрее. :)))
Ну,видно не складывается у меня с цифирью. Что ж сделаешь- гуманитарий-это диагноз.
Не принимайте близко к сердцу, задачи всего лишь малая частность в этой многогранной жизни.
Там надо было лишь расставить все углы в фигуре, основываясь на свойствах равнобедренного треугольника.
И последовательность углов этих выглядит красиво, на прямом углу уравнение замыкается, остается его решить.
Нет, проще намного. Минимум построений. Ответ у вас тот же?
ПС - если что, выложила у себя решение, основные шаги.
Вот это не понял: из четырехугольника ЕДОС следует угол ДЕС=60град. Это действительно так, но следствия я не увидел.
Там это свойство используется еще и в той ситуации, когда мы проводим EG, и считаем это стороной прямоугольника. Иначе прямоугольность EDCG под вопросом.
Нет, прямоугольность там следует в том числе из того, что хорды стягивают одинаковые дуги окружности (равны опорные углы), а значит они равны. И следовательно EDCG прямоугольный.
Ну это, в принципе, то же самое. 180 градусов у противоположных углов следует из того же.
Потому что ECDG прямоугольник, ЕДС прямоугольный, диаметром описанной окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника
Еще одна задача на теорему Пифагора. Можно решить в уме, но я не смог обойтись без бумажки. )))
Надо найти длину стороны правильного шестиугольника.
Если распрямить все эти уголки в один прямоугольный треугольник, то его стороны будут 9 и 12 (сумма нечетных и сумма четных цифр). Хорошо знакомые цифры, производные от 3 и 4. Соответственно гипотенуза 15, сторона - половина гипотенузы.
Легко считается в уме, если сообразил, что считать У меня без бумажки сообразить не получилось.
Что-то не то. Если распрямить уголки по по нечетным, то вы как раз получаете сторону. И она будет равна 9.
Я шла примерно по этому пути, распрямила 12 и дальше искала сторону равностороннего через высоту 6.
Ну да,один катет 9, второй 12. Гипотенуза значит будет 15. А гипотенуза равна двум длинам стороны шестиугольника. Разве не так?
Прямоугольник какой? Одна сторона это расстояние между сторонами, 12, а вторая? Можете нарисовать?
А куда у вас прямые углы ушли? Уи вас треугольник с единичкой из вершины?У него катет будет лежать на стороне. И все остальные тоже.
Прямые углы все на месте.
Да, треугольник с единичкой из вершины. Почему вы решили, что его катет будет лежать на стороне? - этого в условии нет, да и в жизни тоже, и на рисунке в условии он не лежит на стороне, между стороной шестиугольника и катетом самого маленького треугольника острый угол, который, кстати, несложно посчитать.
В условии только то сказано, что все эти треугольнички мелкие внутри прямоугольные, и все.
Не будет. У египетского треугольника острые углы 37 и 53 (примерно). Если гипотенуза совпадает с серединой шестиугольника, то стороны треугольника не будут параллельны сторонам шестиугольника. В этом-то и ирония задачи, типа все криво, но решается просто.)
А мы не катет 9 ищем разве? Мне кажется, там на рисунке специально 6 чуть вниз уходит для запутывания
Автору задачи удалось запутать людей. Значит задача хорошая :))))
Страшная на вид, простейшая по сути.
Так из условия, там х (неизвестное по умолчанию) - обозначена сторона шестиугольника. А у треугольничков стороны известны и их значения обозначены на рисунке.
Он и должен уйти вниз. Но это не имеет значения, главное, где начальная и конечная точки. А они лежат на оси симметрии шестиугольника. И этот шестиугольник абсолютно правильный.)
Достали, ироды... Чисто азарт. Времени вообще нет. Но придется откопать учебник геометрии для 6-8 классов из моего детства. Была докой, щелкала эту лабуду, как орешки. Но прошло 35 лет лет с момента окончания 8 класса. Скроюсь пока. Зараза распространяется ))) Но это лучше ковида.
Спокойствие, только спокойствие. У меня после 8-го класса 42 года прошло, силы давно уже далеко не те.
Огня уже давно нет, но дым пока идет )))).
Присоединяйтесь!
Да, с учебниками - не честно!!! (Но простительно)
Мы тут на остатках воспоминаний о школе дымим.
Обожаю вас ))) Обещаю честно попыхтеть не только над кухонной плитой!
Забыла подписаться - Предок Пифагора я ))) Дымить буду всем - учебниками, плитой и мозгом.
Просто реально времени не хватает. А завидно для себя, аж зубы сводит )))
потребовалось только время на чертеж. Ответ 8 :chr2
основное утверждение: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны между собой.
и затем достаточно написать тангенс такого угла, выраженный из двух прямоугольных треугольников.
Логично. И просто очень, даже без тангенса можно обойтись - если углы равны в прямоугольном треугольнике, то треугольники подобны. Браво вам.
Мое решение длиннее и бестолковее было, три раза применена теорема Пифагора в привязке к центру окружности
стандартный набор для задач про окружности -- две пересекающиеся хорды дают две пары подобных треугольников. про тангенс написала, пытаясь упростить объяснение, не заморачиваясь с подобием, оно обычно тяжелее воспринимается :)