Порешаем? :-)
Сыну отправила))) принес доказательство, что с его точки зрения треугольник равнобедренный.
Не похоже, похоже, что серединная непоименованная линия это биссектриса, но не медиана.
А он иначе доказывал) это же не биссектриса к основанию, да и тригонометрии в шестом классе еще не было)))
Вообще-то нет, потому что из равенства DE и DC не следует равенства треугольников ACD и AED.
В данном случае это равенство оказалось одним из решений, но могло и не оказаться. В любом случае это допущение про равенство треугольников приводит к потере второго решения, с прямым углом.
Из точки Д проводим перпендикуляр. Отрезок ЕД равен единице (находим из тангенса 30 градусов)
У треугольников АСD и АЕD две стороны равны (по 1), еще одна сторона общая, и два угла равны, отсюда следует равенство этих двух треугольников
вообще-то не следует, да))) какого-то маленького звена не хватает, но мне уже лень думать )
Откуда равенство второго угла взялось?
Есть равенство двух сторон (общей и той, которая 1 см), и есть равенство угла, противолежащего одной стороне (потому что биссектриса). И это все.
Это не совсем так. Должно быть равенство по двум сторонам и углу МЕЖДУ ними.
Нет, не равны, потому что в одном случае треугольник остроугольный, в другом - тупоугольный.
В этих смежных треугольниках равны углы и противолежащие этим углам стороны, а также одна сторона общая. Из теоремы синусов следует, что тогда равны и противолежащие этой общей стороне углы (вернее синусы этих углов равны). А значит все три угла в треугольниках равны. Тогда треугольники конгруэнтны по общей стороне и двум прилежащим к ней углам. Изящная задачка.
Если равны синусы, то углы не обязательно равны. Ведь у угла 60 градусов и 120 синусы одинаковые. Или 70 и 110 градусов.
AEDC - дельтоид, равны противоположные углы и есть бисектрисса двух других углов.
(Если в четырехугольнике главная диагональ – биссектриса противоположных углов, то это дельтоид ... )
Почему равны противоположные углы и в этом четырехугольнике биссектриса (по условию) еще и делит пополам противоположный угол Д? Это надо доказать, это не очевидно.
Это как раз можно доказать. Но только решив первоначальную задачу. Т.е. из решения задачи следует, что там дельтоид, но не наоборот.
Нет, не в частном. Из решения задачи следует, что АЕ = 1 +√3, значит АЕ=АС, ЕД=СД, АД общая, треугольники АЕД и АСД равны в этой задаче, это не частный случай, для данных чисел это всегда дельтоид.
Когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом А.
Тут ведь как - рисунок наводит на мысль. что АВС равнобедренный с вершиной С. И дальнейшее решение притягивается исходя из этого. И дельтоид получается, и углы равные (почему?..)
А это не так, равнобедренность доказать невозможно, для этого в исходной задаче не хватает даных. Полученное второе решение это подтверждает - треугольник не обязан быть равнобедренным.
Если А - прямой угол, тогда АС равно (1+√3)/2 , как катет, лежащий против угла 30 градусов.
А если угол А равен 80 градусов, то ответ вообще другой, а если 70 градусов, то опять другой. И все частные случаи. Почему мы мы сами предполагаем, что угол А сколько-то градусов? Это уже другая задача будет.
да, решила через теорему косинусов, получила два ответа. Такие, как у вас.
Внизу видела два варианта решения. Пожалуй, теорема косинусов влечет за собой квадратное уравнение, поэтому точно два решения. Как из рисунка предположить, что существует действительно два решения?
Не делать допущений, которые невозможно доказать. Равнобедренность не доказывается, то есть надо искать другое решение, а любое другое решение приведет к двум ответам...
Хорошая задачка, поучительная. Вроде такая простая на вид)
Согласна, что задача поучительная.
И снова к рисунку. Т.е. проводя высоту из т.С мы упускаем вариант, что эта высота может совпадать с катетом СА.
Да, но это как раз не имеет значения. Мы составляем уравнение в строгом соответствии с теоремой Пифагора. В частном случае кусок АB выродился в ноль, АС в квадрате = высота в квадрате, никаких противоречий.
Опускаем высоту из точки С на сторону АВ, находим АС по теореме Пифагора из полученного прямоугольного треугольника, потом находим АС по свойству биссектрисы, приравниваем, решаем уравнение. Получаем, что угол А - прямой, АС - половина гипотенузы.
по свойству биссектрисы АВ в √3 раз больше , чем АС, потом или теорему косинусов или высоту из С на АВ и теорему Пифагора в двух треугольниках.
Вопрос был не к вам, а к автору высказывания про прямые углы и следующие из них значения AB.
А у вас решение понятное, и кажется единственно правильное. Потому что и у меня такое же, и у человека выше.
А все остальные одно из двух решений теряют.
Вот смотрю на задачу, понимаю, что несложная, тут и похуже были, и решала спокойно. Но ребенок год назад поступил в вуз, и у меня интерес к геометрии пропал. Я думала, вещи несвязанные, а оно вононокак.
Те же мысли. Но я гуманитарий, 2 языка 😝 математик спросит, нафига 2 языка
У меня так получается.
Недостаточно данных.
А где письменная часть задачи?
Для решения треугольников надо 3 вида данных. Тут как ни крути только 2. Что то в задании не то, потому что описания нет вообще.
Здесь есть дополнительное условие - величина отрезков, на которые делит сторону биссектриса.
А вообще выше девушки уже выложили решение.
Посмотрю. Значит моих остатков знаний от геометрии недостаточно. У меня в голове Пифагор, теоремы син, кос, медиана, биссектрисы, вписанные, описанные окружности. Изначально думала не сложная задача. Потом поняла, что мне не хватает именно третьего дано.
Так против 30 градусов должно быть тогда в условии, что треугольник прямоугольный, а этого не сказано.
Против угла 30 градусов может лежать любая сторона, не обязательно катет в прямоугольном треугольнике. Например, треугольник с углами 30,100 и 50 градусов. одна сторона точно лежит против угла 30 градусов.
В условии на рисунке надо найти сторону, лежащую против 30 градусов. Что не так?
Я думала вы к чему нибудь такому:
Катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
1+√3; 2+2√3;
Но поскольку треугольник тупоугольный, то верен первый вариант.
Решила через квадратное уравнение, чисто геометрически не получилось.
Всё, решила геометрически.
Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. следовательно, соотношение сторон √3 и 1. Обозначим их как √3х и 1 х.
У нас два варианта треугольника - остроугольный и тупоугольный.
Рисуем их и опускаем высоту на сторону.
Вычисляем высоту. При угле 30гр в прямоугольном треугольнике противолежащий катет относится к гипотенузе как 1 к 2. если гипотенуза равна √3х , то высота равна √3х/2.
Вычисляем второй катет прямоугольного треугольника образуемого высотой и той стороной, которая √3х. Он равен√3х*√3/2, т.е. 3/2х.
Теперь вычисляем катет прямоугольного треугольника, который образует сторона 1х с высотой. Он равен √(х^2-3/4 х^2)=х/2.
Если исходный треугольник остроугольный, то основание равно 3/2х+х/2 = 2х, если тупоугольный - то 3/2х-х/2=х.
А по условию длина основания 1+√3. соответственно, получаем 1+√3 и (1+√3)/2