Временная регистрация
Подскажите, как действовать и какие документы нужны, чтобы получить временную регистрацию в Москве? Регистрироваться буду у тети. Квартира по договору соц найма или вот-вот приватизирована. Прописаны там четверо.

Муниципальная или приватизированная квартира - это "две большие разницы".
Информация по услуге тут:
http://www.gosuslugi.ru/ru/card/index.php?coid_4=65&ccoid_4=74&poid_4=191&soid_4=634&toid_4=543&info_4=0&rid=228

Там соц найм, но уже запущен процесс приватизации.
Т.К. регистрация нужна срочно, то дожидаться завершения приватизации не буду.
А что значит Документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному им адресу?

а его в форме заявления мне самой писать в свободной форме или ответственный квартиросъемщик должен это делать? и необходимо ли согласие всех прописанных?

Разрешение Департамента дает Департамент, а не вы и не квартиросъемщик.
Кстати, понятия "ответственный квартиросъемщик" нет уже, все квартиросъемщики равны в правах.
Согласие всех совершеннолетних зарегистрированных тоже необходимо.

Ну насколько я понимаю, чтобы Департамент дал разрешение, надо его попросить в форме заявления. Или я не правильно понимаю? А как должны выразить согласие остальные члены семьи?

Да, заявление. Подробностей, к сожалению, не знаю.
Члены семьи выражают согласие, написав заявления. Причем в ЕИРЦе (или где там сейчас сидят "паспортистки") могут потребовать явиться всю толпу сразу, заверять их подписи и пр. гемор.
ХЗ законно ли это, данную процедуру редко кто проходит.
Да, и пару лет назад они ещё обязывали заключать договора, регистрировать их в центре арендного жилья (небесплатно кстати), не знаю практикуется ли это до сих пор или нет.

Документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному им адресу
Это договор найма, безвозмездного пользования, или заявление собственника.
Поскольку в вашем случае собственник - это муниципалитет, то необходимо его согласие на ваше вселение.
Возможно, договор поднайма. Это все непросто. С приватизированной квартирой проще.
