Работа по срочному договору
Если с человеком заключают срочный трудовой договор, скажем, сроком на год, гражданско-правового характера, должен ли он приносить свою трудовую книжку? И делается ли запись в трудовой на основании такого договора?

Или трудовой, или гражданско-правовой, что нибудь одно. Если трудовой и место работы основное, то Да, заносится запись в трудовую книжку, книжка хранится у работодателя.
либо договор трудовой, либо гражданско-правового характера.
если трудовой, то должен. если гражданско-правовой, то нет
второй можно по суду признать первым (и получить соответствующие соц.гарантии) в случае, если "сторона" по договору должна подчиняться правилам внутреннего трудового распорядка (работа в определенное время, выполнение определенных должностных обязанностей и т.д.)