Трудовой договор
В современной России каждый работающий заключает трудовой договор ?
Или есть форма как раньше - трудовую принёс, в должностной инструкции расписался и всё ?
Самозанятые договор оказания услуг заключают ?
Есть ли такая форма трудоустройства, без трудового договора ?

Трудовой договор обязателен при трудоустройстве.
Самозанятые Да, заключают договор в той или иной форме.
То есть в РФ все работающие легально заключают трудовой договор? И врачи, и учителя, и дворники, и продавцы ?

Да. Причем если человек вышел на работу и приступил к труду, это приравнивается к фактическому заключению трудового договора.
а легально работающие самозанятые ? Репетиторы, изготовители тортиков на дому, няни. Они тоже в каком-то виде его заключают ?

и в пенсионный сами отчисляют ?
А если я сама ИП, то работаю сама на себя, без трудового договора, т.к. я сама себе работодатель ?

Ничего самозанятые не отчисляют, только налоги платят с дохода. Ип тоже может быть самозанятым, но трудовой договор у ИП самому себе - нет.