Как издать детскую книгу
Хочу написать и издать детскую книгу. Как это делается? В какие издательства можно предлагать? Как? Как деньги получают авторы с продажи?

Хотите издать за свой счет или заинтересовать издательство? Предлагать можно в любое, имеющее соответствующий ассортимент. Контакты ищите на сайтах. Как правило рукописи не рецензируются, если издательству понравится, вас известят. С издательством Вы заключите авторский договор, где будут прописаны условия получения Вами вознаграждения и/или роялти.
предлагаете во все. если заинтересуются - подпишут с вами контракт. о гонорарах тоже будете говорить с теми, кто заинтересуется. получают от тиража.
а как автору отследить, не использовал ли кто-нибудь ее идею или рукопись под своим именем? Снасала нужно где-то зафиксировать, что это ее произведение?

Если Вы так ревностно относитесь к своим идеям, то не издавайтесь вообще. Тем не так много, жанров ещё меньше - посему уникальности нет. Есть авторский стиль, вот он уникален.
Загляните на форум Эксмо, там народ готовые вещи выкладывает и не парится. Некоторые из них потом издаются.

Можно нотариально заверить авторские права, а точнее дату предоставления материала нотариусу. Тогда любой, попытавшийся воспользоваться произведением позже этой даты автоматически станет нарушителем авторских прав со всеми вытекающими. Если с нотариусом возиться не с руки, есть простой народный способ - отправить рукопись самому себе по почте. По получении бандероль не вскрывать. Тогда дата на штемпеле почтового отправления будет служить доказательством в суде, если что. Так же будет учитываться дата публикации в интернете.