Оформление по совместительству

Здравствуйте!
Предложили работу на полставки. Оформление по совместительству.
Новый работодатель говорит, что в трудовой книжке основной работодатель должен сделать какую-то запись.
Основной работодатель говорит, что никаких записей делать не должен - я вообще могла на основном месте не говорить, что нашла ещё одну работу.

Кто прав? И как правильно?