задачка по геометрии

Девы, помогите, пожалуйста решить:
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится вершина прямоугольника. нужно доказать, что прямоугольные треугольники, образованные вершиной квадрата и стороной прямоугольника, равнобедренные

Я бы от противного доказывала, предположим, треугольники получатся неравнобедренные. Дальше строите четырехугольник и доказывание, что это не прямоугольник.

диагонали квадрата равны и точкой пересечения с стороной прямоугольника делят угол вершины квадрата пополам (биссектриса). значит один угол 90, второй 45
третий 180-90-45 = 45
а если 2 угла при основании равны, то треугольник равнобедренный по свойству равноб. треугольника

Во-первых, прямоугольник можно вписать так, что треугольники не будут равнобедренными. Но раз уж на вашей картинке указаны длины катетов меньших треугольников, то они однозначно равнобедренные, каждая длиной х. В чем задача-то?

Проведем диагонали квадрата. Они будут пересекаться под прямым углом. Известно, что углы прямоугольника также прямые. Значит каждый из образовавшихся маленьких четырехугольничков также будет прямоугольником. У пруямоугольника противолежащие стороны параллельны и равны.
Значит диагональ БД будет параллельна отрезку ЕФ. Соотвественно, треугольники АБД и АЕФ - подобны. Диагонали квадрата являются его биссектрисами, значит углы АБД и АДБ равны. А значит равны и углу АФЕ и АЕФ. Треугольник АЕФ равнобедренный.

Если катеты прямоугольных треугольников разные (треугольники НЕ равнобедренные), то легко показать, что такой прямоугольник - квадрат. Порядок доказательства:
1) Противоположные треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
2) Соседние треугольники равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны.
3) Итак, все четыре треугольника равны между собой, т.е. он ромб.
4) Углы между их гипотенузами прямые. Значит, ромб - квадрат.

Если речь идёт НЕ о квадрате, значит, катеты в прямоугольных треугольников равны, т.е. эти треугольники равнобедренные (попарно равные).

Для какого класса задачка то хоть? Весь вечер сидели с моей 8-классницей. Как живы остались, не знаю. Чуть не поубивали друг друга этими катетами и углами. В интернет полезла, не нашла ничего. Не знаю, как спать теперь.

Первая же ссылка https://5terka.com/node/2279

У меня вроде решилось через продление прямых (сторон прямоугольника и диагоналей квадрата), равенство углов при параллельных прямых, там подсчет получается с углами в 135, 90 и 45 градусов.

Но может и ошиблась где-то

Задача совершенно спокойно решается с помощью доказательства "от противного". Никаких построений. Предположим, что углы и стороны треугольников не равны, тогда мы имеем 4 подобных прямоугольных треугольника - два больших и два маленьких. Если у нас бОльшая фигура квадрат, то соседние стороны у него должны быть равны. Проверим это.
Дальше алгебра. Решаем пропорцию, складывая кусочки сторон, являющиеся соответствующими катетами и получаем, что стороны в таком случае не равны и фигура не квадрат.
=> наше предположение про неравенство углов и сторон треугольников неверное и они равны, треугольники равнобедренны.
Если вписан маленький квадрат, то по той же пропорции стороны бОльшего квадрата равны и углы могут быть любыми.