Задачка про воду,газ,свет
Недавно здесь кто-то давал задчку.Надо было провести свет, газ и воду в три домика. Дайте еще раз ссылку на эту задчку, пожалуйста.
Да незашта, она все равно не имеет решения, разве только недруга из мести подсадить...:-)
Да, вот и мне кажется,что не имеет. Но у внучки в домашнем задании она есть. Подсадила всю семью, папа сидит, средний, которму 8 лет сидит весь вечер... В воскресенье следующее занятие математического кружка. Посмотрим, что скажет учитель:)
Обязательно напишу:) Если он замнёт, "не успееет" детям объяснить, я сама к нему подойду после урока.Жуть, как интересно:)
Он скажет, что её можно решить не в двумерном, а в трехмерном пространстве.
Или вот так: http://fc07.deviantart.net/fs45/f/2009/123/2/f/Solved_the_unsolvable_by_dreamer531.jpg
или так:
http://www.pnz.ru/album/albums/userpics/123~14.jpg
Не, я в такие дебри с 10-леткой не полезу:) А как учитель выкрутится, интересно:)
Вообще-то учитель замечательный, у него свой учебник, задача оттуда. Дядька очень толковый, задачи у него всегда очень занимательные.
У нас там три поросёнка, которые поссорились и не хотят встречаться на дорожках, ведущих в сарайчики с капустой, кукурузой и желудями. Вот и надо проложить три нигде непересекающиеся дорожки, ведущие от каждого поросячьего домика к каждому сарайчику. :)
Он ответит так:
С именем Эйлера, является задача о трех домиках и трех колодцах.
Задача. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году.
Теорема. Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство
В - Р + Г = 1, (*)
где В - общее число вершин, Р - общее число ребер, Г - число многоугольников (граней).
Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ
Действитель но, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем
В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.
Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока жем выполнимость соотношения (*) (рис. 2, б). Для этого будем последо вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:
а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на шем случае AB и BC;
б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.
В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г-1 многоугольника:
(В - 1) - (Р + 2) + (Г -1) = В – Р + Г.
Самостоятельно рассмотрите второй случай.
Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого раз биения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, B - Р + Г= 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).
Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.
Приступим теперь к решению задачи о трех домиках и трех колодцах.
Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д1, Д2, Д3, а колодцы - точками К1, К2, К3. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.
Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на более мелкие многоугольники. Поэтому для этого разбиения должно выполняться соотношение Эйлера В - Р + Г= 1. Добавим к рассматриваемым гра ням еще одну - внешнюю часть плоскости по отношению к многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5*4)/2 = 10, что противоречит условию, по которому их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен - нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.
...... нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу............
Ну, примерно так он и ответил:) Задача решения не имеет! А зачем давал?! Чтобы показать, что бывают задачи, не имеющие решения, хотя на первый взгляд они и простые.
