разрешение матери на поездку сына с отчимом?

Нет, ничего не нужно. Свидетельство о рождении пусть возьмёт на всякий случай.

Если ребенку потребуется экстренная операция, кто даст разрешение?

Если ребенку потребуется экстренная операция, её сделают без всякого разрешения.

Красавелло ;)

Как это без разрешения? А если я против? Если хочу везти ребенка в соседний город? Я не говорю о ситуации, когда ребенок кровью истекает, и счет идет на секунды. Если это флюс или перелом со смещением?

Как вы будете против и как вы его повезёте в соседний город, находясь за тысячу километров от ребенка? С флюсом и без вас разберутся.

Объясните, пожалуйста, еще раз. Вот вам ситуация для наглядности. Ребенок поранил ногу/ его укусила собака - ситуации вполне реальные на отдыхе. Первая помощь оказана, но встает вопрос о прививках - противостолбнячной сыворотке в первом примере и от бешенства во втором. Неужели вакцинацию сделают ребенку, которого привел абсолютно посторонний ему с юридической точки зрения человек? Или, наоборот, откажут, исходя из этого?

Отчима спросят, да сделают, почему нет то.

Потому что только родители должны решать такие вопросы. На каждую прививку ребенка сейчас требуют от родителей заполнять определенную форму. С тем же флюсом не все так просто, может потребоваться разрез десны или удаление зуба, на это нужно согласие не постороннего дяди.Я с внучкой ходила в платную поликлинику, там сразу сказали, что без доверенности от родителей приема не будет даже за мои деньги. Привозила ребенка с подозрением на аппендицит - с меня сразу взяли подпись о согласии на операцию,если диагноз подтвердится. В другой больнице тоже операция была только после моей подписи.
Я о чем? В разрешении на выезд есть фразы про принятие решений, касающихся здоровья. Если разрешения не надо, то должна быть доверенность на право представлять интересы ребенка. Я бы однозначно оформила.