Антибиотик?

Просветите, пожалуйста, неграмотную, кто в теме и если есть свободная минутка.

Данные: 5 лет, недавно ребёнок болел, с не большой температурой, кашель, насморк. Вроде бы всё прошло. 1 сутки вообще никаких остаточных симптомов не было. Пошли гулять, общаться с детьми, под вечер поднялась температура, 3 дня держалась 38,5-38,8, сбивали, остался небольшой мокрый кашель, зелёный густой насморк. Врач слышит в груди небольшой трахеит. Сдали анализы мочи и крови. По анализам все показатели негативные: и лейкоциты и С-реактивный и другие, на что исследовалось с целью выявить воспаление. Назначен антибиотик вида Augmentin.

Вопрос: стОит ли его давать при таких показателях анализов? И на будущее: что именно просить выяснить в анализе для дачи/ не дачи антибиотика?