Сдать чужую квартиру

Вариант только один - оформить доверенность. Легально вы и не сможете по другому сдать и платить налоги.

На основании доверенности автор действует от лица свекрови, поэтому выгодополучателем будет свекровь, так что самозанятость автора будет притянутой за уши.
Совершенно легальная схема - наем квартиры у свекрови за символическую сумму с правом сдачи ее в субаренду уже по вашему усмотрению.
Менее легальная, но часто применяемая схема - получение квартиры от свекрови по договору безвозмездного пользования и сдача ее в аренду от лица автора. Ограниченная легальность схемы заключается в том, что по договору безвозмездного пользования автор приобретает только право пользования, а по договору поднайма передает право и пользования и владения (ст.671 ГК), которого у нее нет.

Спасибо большое за ответ! Подскажите, пожалуйста, все эти договоры нужно оформлять у нотариуса?

Нет, не нужно, достаточно ППФ.
Но в правоприменении много неясностей, в частности за несвоевременное оформлнение временной регистрации и не регистрацию предусмотрены приличные штрафы. А вот оформить такую регистрацию субарендатору вы вряд ли сможете на основании договора найма.

Да, это проблема. То есть если я сдаю легально по договору я обязана жильцов зарегистрировать, даже если у них есть регистрация? Заранее извините за глупые вопросы, сдаю впервые.

Да, обязаны, по месту временного пребывания в срок для граждан РФ до 3-х месяцев.
Но реально это мало кто делает, такова уж специфика России.

Поняла. Ещё раз спасибо за консультацию:)