Прописка в новой квартире

Да , можно через ГУ. Там есть форма заявления , нужно выбрать именно электронный формат получения услуги , тогда вы придете к назначенному часу и вам при вас поставят штамп и уже все сделают. Есть еще формат " записаться на прием " . Он вам не нужен.
Выписываться заранее не нужно , в заявление укажете старый адрес регистрации и новый. УФМС сами пошлют туда уведомление , что вы уже на новый адрес зарегистрировались , чтобы там вас сняли .
На детей тоже там же заполните заявление , на ГУ

В МФЦ вам нужно будет прийти два раза : сдать и забрать документы . А через ГУ приходите в УФМС и тут же вам все проштампуют

Не автор. Мой опыт.
Сделала, все как вы описали, меня "проштамповали" еще полгода назад и до сих пор я в кв. платежке по старой прописке, по новому адресу не появилась.
Пошла выяснять в мфц, не могут сказать ничего, езжайте по старому адресу и там выясняйте. Не понятно смысл этих ГУ. График работы УФМС такой, что еще подгадать ехать на другой конец Москвы, а записаться нереально.

Что значит " записаться нереально " ?
Когда вы заполняете заявление по электронной услуге , оно там обрабатывается паспортистками и вам приходит уведомление о точном времени прибытия на прием и номере кабинета .
Даже если там будет " живая " очередь , то вас выкрикнут в точно назначенное время . Потому что если они плохо обслужат с ГУ , то им по шапке дают очень сильно. А живая очередь может сидеть хоть двое суток .
Зачем ехать на другой конец Москвы , когда вам при записи дается возможность выбрать отдел УФМС , который как раз в районе вашей регистрации будет

Вы не поняли, при электронном заполнении уже была на приеме и меня "проштамповали", т.е. зарегистрировали по новому адресу.
Проблема возникла в том, что в квартплатных счетах я до сих пор на старой квартире. Я пришла по месту жительства в УФМС к начальнику отдела, он развел руками и сказал ехать по старой прописке и выяснять! Типа с их стороны все ок.

Ну все правильно , с их стороны все ОК и было . Возможно и по прежнему месту прописки в УФМС все было ОК . Кто меняет данные на квитанциях , кто заносит в базу абонентов-потребителей ? Вот с них и нужно спрашивать
.
У вас как все в результате разрешилось ?

Они друг на друга валят всегда. Технически это должно было произойти в таком порядке, отрывной талон 6той формы отправляться почтой России в ведомство по месту нахождения старой прописки и там должны сделать проводку и перерасчет. Кто накосячил узнать невозможно, может не отправили или почта потеряла или получили и валяется где то у них, последнее вероятнее всего. Будут пинать друг на друга, мы отправили, мы не получали. А исправить, это заставить найти потеряшку, что невозможно :) или взять новый и самой лично привезти, тогда сложнее будет открещиваться, желательно стоять над душой пока проводку и перерасчет не сделают, а то могут закинуть в кучу бумаг и опять потеряется. Кстати, если не снят с учета, по базе все равно уже все ок, это формальная вещь , типо извещения исправить карточку, не могут же к базе каждый день по всем обращаться и смотреть изменилось ли там что.

Можете сразу подать на ппрописку в новой, и тогда вас автоматиически выпишут по старому адресу, но это может занять некотороое время, а можете сначала выписаться и потом прописаться, Да, это можно сделать через ГУ.

через Гу можно подать заявку, но все равно придется идти в УФМС. Без личного участия никак

Эпопея продолжается до сих пор. В кратце.
В мае через ГУ подала документы на регистрацию по м.ж к мужу (другой район). До этого была прописана с рождения в одной квартире с родителями. На прием пришла по приглашению, паспорт штампы проставили о регистрации и о снятии с учета.
Прошло три месяца. В платежках я так и не появилась у мужа, на старой квартире так и была. Пошла опять по талону (еще давали). Проверили, сказали все в порядке, дали на руки выписку (на всякий), что я зарегистрирована по новому адресу. Сказали не надо никуда ехать, все данные отправляются автоматически.
Прошел еще месяц, опять меня нет в платежке. Пошла снова, а талоны уже не дают. Пошла к начальнику отделения так. Спросила, что за нафиг? Сослался на отделение прежнее и посоветовал ножками туда с той выпиской которую дали "на всякий". Съездила, туда. Там удивились почему так происходит (шесть месяцев прошло), предположили, что с нового места запрос потерялся или не дошел. Пообещали через неделю появлюсь в выписке ежд, проверяйте. Не появилась.
В итоге, через 1,5 месяца, в ежд старой квартиры меня нет, выписали, но и у мужа в выписке тоже нет, в платежке конечно тоже!
Вот теперь куда, бред полный.(