29
Математики, требуется помощь.
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
9 лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в 4 обгонах(в каждом обгоне участвуют 2 лыжника - тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют).
Задача была сегодня на олимпиаде мат., не уверены в правильности своего решения.
Свернуть
Ответить
Нет не может. Первому страртовавшему после совершения 4-х обгонов надо прийти к финишу пятым, с другой стороны последнему стартовавшему надо обогнать 4-х и тоже прийти пятым. Получаем противоречие. А где такая олимпиада?
Ответить
10
Если девятый идет со скорость превышающей скорость первого то по идее он может обогнать 8 лыжников получается 8 обгонов как то так, наверное. Самой интересно стало. рядом постою
Ответить
если Петя обогнал Васю, то Вася Петю уже не обгонит (см условие про постоянную скорость)
Ответить
Нет.
Предположим, лыжники 5, 6 и 7 обгонят лыжников 1, 2, 3, 4, но не смогут перегнать друг друга. Каждый из них совершит 4 обгона. Соответственно, у нас остается еще два лыжника, 8 и 9, которые вышли последними и которым надо совершить по 4 обгона. За лыжником 4 идут два (!) человека, а его уже обогнали трое. Соответственно, либо количество обгонов у этого лыжника будет больше 4х, либо один из последних лыжников не сможет его нагнать -> не сможет совершить 4 обгона.
Предположим, лыжники 5, 6 и 7 обгонят лыжников 1, 2, 3, 4, но не смогут перегнать друг друга. Каждый из них совершит 4 обгона. Соответственно, у нас остается еще два лыжника, 8 и 9, которые вышли последними и которым надо совершить по 4 обгона. За лыжником 4 идут два (!) человека, а его уже обогнали трое. Соответственно, либо количество обгонов у этого лыжника будет больше 4х, либо один из последних лыжников не сможет его нагнать -> не сможет совершить 4 обгона.
Ответить
Не пойму, это муж пишет или Вы уже?:) Мне мой то же самое только что сказал, что вариантов масса может быть.
Ответить
Все на самом деле всегда сведется к лыжнику 4. За ним иду пятеро, каждый из которых должен совершить 4 обгона.
Можете поэкспериментировать :)
Это, к сожалению, не твердое математическое доказательство, но ответ: "невозможно".
Можете поэкспериментировать :)
Это, к сожалению, не твердое математическое доказательство, но ответ: "невозможно".
Ответить
По-моему, нет. Скорость у каждого постоянная. Если предположить, что у последнего скорость самая высокая, все равно у него получится максимум три обгона.
Ответить
20
У задачи есть конкретное решение. Обратите внимание на слово "ровно".
Что за олимпиада? Городская?
Что за олимпиада? Городская?
Ответить
Интересно. что в случае 8 лыжников такая ситуация возможна. Например, вторая четверка лыжников (5.6.7.8) обгоняет первую четверку (1.2.3.4)
Ответить
Нет, такое невозможно. Решение:
Первый лыжник, чтобы поучаствовать в 4 обгонах, должен уступить 4 лыжникам, соответственно, он должен прийти пятым, а перед ним должно быть 4 лыжника.
Девятый лыжник, чтобы поучаствовать в 4 обгонах, должен обойти 4 лыжников. поскольку он уступить никому не может. В этом случае он тоже должен прийти пятым, а за ним должно быть 4 лыжника.
Вариант, что эти 2 лыжника пришли вровень, невозможен, т.к. оставшихся лыжников 7, и их не может быть 4 до и 4 после.
Первый лыжник, чтобы поучаствовать в 4 обгонах, должен уступить 4 лыжникам, соответственно, он должен прийти пятым, а перед ним должно быть 4 лыжника.
Девятый лыжник, чтобы поучаствовать в 4 обгонах, должен обойти 4 лыжников. поскольку он уступить никому не может. В этом случае он тоже должен прийти пятым, а за ним должно быть 4 лыжника.
Вариант, что эти 2 лыжника пришли вровень, невозможен, т.к. оставшихся лыжников 7, и их не может быть 4 до и 4 после.
Ответить
По-моему, неравнество такое должно быть:
а = # лыжников
б = # обгонов
а/5 >= б/2
потому что для каждого лыжника есть 5 вариантов развития событий (обогнал 4х, обогнал 3х и был обогнан 1 раз, обогнал 2х и был обогнан дважды и т.д.) и каждый раз при обгоне два варианта - либо он обогнал либо его
если б = 4, то а должно быть >= 10
значит, невозможно
а = # лыжников
б = # обгонов
а/5 >= б/2
потому что для каждого лыжника есть 5 вариантов развития событий (обогнал 4х, обогнал 3х и был обогнан 1 раз, обогнал 2х и был обогнан дважды и т.д.) и каждый раз при обгоне два варианта - либо он обогнал либо его
если б = 4, то а должно быть >= 10
значит, невозможно
Ответить
Еще раз всем ОГРОМНОЕ спасибо! Вы такие умницы!!! Это была московская олимпиада, проходила сегодня. Завтра у брата 2 тур :)
Ответить