Было дело, задачки решали гурьбою.

Модераторы, не переносите пожалуйста тему в образование.
В том разделе гораздо меньше образованных женщин, чем здесь. :)))

Видимо и здесь их почти вообще нет.

Уточните, какой угол равен 100 градусам, а какой= - 35. . Далее спойлер.




Углы при вершинах трапеции q и r - 115.
Углы при основании трапеции p и s - 65.
Угол RPS - 25
Остальное не могу вычислить, ока не разобрала, какие 2 угла имеются в виду.

UPK = 35
PIQ = 100.

Чтобы это была трапеция, нужно доказать параллельность.

SQP и SRP - треугольники, у которых равны две стороны и угол ( вписанный в окружность треугольник на диаметре всегда прямоугольный). Следовательно, они равны, и равны их высоты. А если равны высоты и боковые стороны - то это равнобокая трапеция.

Это практически очевидно. Проблемы у меня начались с верхней частью рисунка, там угол в 35 градусов.
Решал не самым простым способом, делал дополнительные построения. Наверняка есть более простой путь.

А дальше всё вычисляется через суммы углов в треугольниках и четырёхугольниках. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны. У меня получается в верхней части 2 треугольника - 15 75, 90 и 50, 40, 90.

Пробуйте. Не все так просто, как кажется на первый взгляд.
У меня затык возник на определении значения угла KPJ

Да уже в принципе всё посчитала.
Потому что угол QRS - 115, значит QUS -65. QUP - 25.В треугольнике PIJ углы, соответственно, 25, 80, 75.
Отсюда вычисляем PJU - 105, JPU - 50 и KPJ - 15. Выше обсчиталась, написала 5.

Похоже на моё?

Да, именно так. Просто свои каля-маля не хочу выставлять:-))))

у меня не так.

попозже поищу почему

не могу найти ошибку. Суммы углов по всем фигурам правильные... В обоих рисунках

4-угольник QRSU вписан в окружность. Следовательно, его противоположные углы в сумме дают 180 градусов.
Угол QRS - 115. Угол QUS = 180-115 = 65.

Угол QUS не может быть 80, он должен быть 65.

почему?

-

впервые похожую задачу увидела в вариантах вступительного экзамена по математике у психологов МГУ в 1992 г. В справочнике для поступающих "МГУ-1993" есть два аналогичных варианта.
в решении используется теорема о том, что на хорды равной длины опираются равные вписанные углы (отсюда легко выводится теорема о том, что если трапеция вписанная, то она равнобедренная). судя по этому чертежу потребуется утверждение о равенстве угла между хордой и касательной и соответствующего вписанного угла.
у психологов по условию требуется еще найти какой-то из отрезков, поэтому нужно было знать утверждение о связи длины хорды с радиусом и величиной вписанного угла, который эта хорда стягивает.
оффтоп. кого-то к дви по математике в мгу готовите? ;)

увидела еще, что отмечен диаметр, значит, любой треугольник, опирающийся на диаметр, прямоугольный. т.е. еще один угол знаем и т.д.

И касательная есть, кстати.

в первом же сообщении указала теорему о равенстве вписанного угла и угла между хордой и касательной :chr2

Тем более, что там три таких треугольника.

Можно добавить ;) С вершиной в точке Q, например.
Так что, их количество по большому счету неважно...

Да, вы правы. Кстати, совсем не помню, проходили ли в школе эти свойства углов и окружностей.

ОФФ. Просто интересно. Обидно не решить школьную задачу.

проходят или нет это в школе, к сожалению, зависит от школы. мы проходили...
кстати теорема про вписанный угол и угол между хордой и касательной элементарно доказывается. именно это я всегда проделываю, чтобы не напрягать память и чтобы наверняка ;)
в программе для поступающих в мгу по математике это есть. вам ли не знать :party3
также это есть во всех пособиях по геометрии для поступающих.

Так в школе-то я учился 40 лет назад, забылось многое. (((
Про программу для поступающих в МГУ мне точно не знать, потому что во-первых в МГУ не поступал, и, во-вторых, когда поступал, то к поступлению вообще не готовился, в моей деревне слова "репетитор" в 81г. не знали. И вступительной программой не интересовался, просто поехал - и поступил кое-как, еле-еле. :)))
Вся подготовка - заочное самостоятельное решение задачек из ЗФТШ при МФТИ. Сознаюсь, что часто терпел фиаско при их решении.

мне почему-то казалось, что у Вас физфак за плечами. и по возрасту, мне казалось, Вам в то время нужно было туда математику сдавать.
но все это сейчас совершенно неважно, и я Вас уважаю независимо от этих мелочей :love1

как это неважно? Теперь на физфак можно сдать пачку соды и тоже примут?

не догнали или пытались сострить?
неважно :chr2

неправильно прочитала, поняла, что теперь эти знания, которые были нужны тогда, уже не нужны на физфак.......

Не, не физфак. Самый простой факультет физтеха. Хороший вуз, с классными преподавателями, с хорошей внутренней атмосферой в то время, с большой свободой. Чуть ли не единственный ВУЗ в советское время, где вступительные экзамены полностью сдавали все, в том числе и медалисты, причем в июле, а не в августе. И было этих экзаменов 5, а не 4, как в других вузах, но при этом балл по русскому языку не суммировался к баллам по профильным дисциплинам (математика и физика, и письменный и устный по обеим предметам). По русскому в сочинении оценивалось не содержание, а грамотность по принципу "лишь бы не двойка". :)

и как вы готовились к этому?

Никак.
Более того, когда сдал документы, чуть опоздав в первый поток, выяснилось, что у меня до начала экзаменов что-то около 10 дней. Ну и уехал домой, на улице лето, тепло, мотоцикл, девушки... что время-то терять - так и прогонял на мотоцикле эти 10 дней. :)))
Учебник открыл только на вокзале, когда ждал поезд в Москву. :))))
Повезло разгильдяю, честно.

какой учебник?

Школьный, других у меня не было. :)
По физике, потому что первый экзамен был письменной физикой.
На котором и случился первый конфуз: было решено всего 2 задачи из 4-х, закономерный трояк в итоге.
Одну не решенную задачу до сих пор помню: стоит сосуд с параллельными стенками, в него налита жидкость, оптическая плотность которой изменяется линейно по высоте. Надо понять, как ведет себя луч света, падающий перпендикулярно стенке сосуда. Отличнейшая задача, с простейшим решением в два действия, если понимаешь суть того, что там происходит. До меня дошло уже после экзамена, когда шашками махать было поздно. :)

Почему не решил еще две задачи, школьного учебника оказалось мало ,надо было дополнительные пособия использовать?

Ума не хватило. Школьного учебника было достаточно.

да! были люди в наше время... (Лермонтов. для зануд ;) )
бойцы вспоминали минувшие дни... (Пушкин. для них же)
обожаю субботнее утро, но пора отправляться к делам.
Хороших выходных!

какие еще дела, ишь барин какой, все ему дела и дела, а болтать кто будет?

я -- барыня!!!
на "поболтать" время вышло. теперь ухожу командовать :animal2

обалдела, тут люди гЕметрию решают, а она командовать пойдет? А углы кто будет измерять, а в круг запихивать. Чтобы вернулась вечером как штык и решила все.

Конечно. Это школьная задача. 7 класс.

с дуба упали, какой это 7 класс, 7 класс 5 курса физтеха?

В 7 классе геометрию только начинают изучать. А хорды, касательные, вписанные в окружность фигуры - это 8-9 класс

Смотря какая школа.

Центральные и вписанные углы проходят в 8 классе

Сумму углов треугольника, прямой угол, опирающийся на диаметр, вертикальные углы вообще в 6-м.

В 6 геометрии нет вообще

О! Любителей геометрии прибыло! Советую поставить приложение Euclidea. Очень залипательное.

На первый взгляд нетрудно, но муторно. Все углы около точки P определяются тривиально, остальное по цепочке должно вытащиться. И да, нарисовано так, чтобы вводить в заблуждение.

По условию задачи обычно приводят известные углы.

Там два угла обозначены. И два равных отрезка.
+ то, что точка О - центр окружности, на которой выполнены все построения.
Классная задачка, решается легко, если знаешь свойства взаимно связанных углов, хорд и окружностей (дуг).
Я их не знал, поэтому пришлось проковыряться достаточно долго и вначале получить эти свойства.
Ответ пока не выкладываю, чтобы не лишать людей удовольствия поскрипеть мозгом.

Точная формулировка задачи какая написана?

если то, что написано неясно, то дальше можно не напрягаться :chr2

Задания пишутся с обозначением углов:
На приведенном рисунке точка O является центром круга. Рисунок схематичный.

GH – касается окружности в точке P.

PS - диаметр, а PQ = RS.

PHPQ = 25 °, ∠PIQ = 100 ° и ∠UPT = 35 °.

Найдите все остальные углы на рисунке.

А я так и не смог найти ту ночную ссылку на ДЗЕН. Закрыл и потерял.

Именно так там и было написано + то, что задачка из Австралии вроде бы.

Как раз на первый взгляд муторно. Но если повглядываться, то становится видно, что куда. Но муторно, да))))

Сейчас некогда, но потом обязательно порешаю. Полный кайф посидеть над задачей, а потом она бац, и решилась. Но это физматовское прошлое дает о себе знать, видимо.

У меня в запасниках есть задачка, которую с двух заходов решить не смог. Но ее попозже выставлю, в расчете на то, что кто-нибудь одолеет.

Я! Я! *тянет руку*

Ждал вас. Чуть позже, вначале надо раздразнить аппетит.

Вы напишите примерно, во сколько выложите:-))))

Завтра. :)
Но та задача сурова, я ее так и не решил, слабоват оказался.
А может просто что-то просмотрел.

Ждём:-)))))

А можно вторую без первой?) Первая нудная, полагаю, там через прямые углы вписанных треугольников все можно раскрутить

Она не нудная, она с изюминкой небольшой. Не спешите.

Я-молодец!

не тот формат

Ваше решение с моим и решением Артемис не бьется.



И проверку не проходит: величины углов PSU и PQU одинаковые. Это навскидку.

Чем обоснуете, что угол RPU прямой? - это, похоже, и есть причина ошибки.

Не в этом. Он прямой, потому что опирается на диагональ.

этого недостаточно. только вписанный угол, опирающийся на диаметр, будет прямым.
и обратно: любой вписанный прямой угол опирается на диаметр.
эта теорема доказывается с использованием определения величины центрального угла как величины соответствующей дуги, им стягиваемой. отсюда легко выводится, что величина вписанного угла равна половине соответствующего центрального. и поскольку только диаметр делит окружность на две равные дуги, то и два вписанных угла с разных сторон диаметра будут прямыми.
как следствие идет также теорема о том, что сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам, что не означает, что каждый из углов всегда будет прямым.

Так в данном случае он и есть вписанный.

он не опирается на диаметр.

RU не диаметр

Да он не прямой, я не на тот угол посмотрела.

из PUSR
PUS, SRP прямые, т.к. опираются на диаметр.
PUS=SRP, значит PUSR параллелограмм, значит RPU=RSU=(360-2*90)/2=90

Почему параллелограмм следует из равенства углов??? Может быть один 89 градусов, а другой 91

не, не паралле-м, а прямоугольник, я описалась.
Не знаю какой формулой подтвердить, но чую :-)
Постройте четырехугольник с противоположенными углами по 90, а два других-не 90.

Сложите ромб из двух прямоугольных треугольников с углами 30-90-60)
Будет четырехугольник с углами два по 90, 60 и 120
PS Пардон, не ромб, конечно, о чем я))))

нарисуйте, плиз, что-то я не пойму

Например, такой. Мы с этим уже сталкивались в прошлых задачах, помню, я тогда тоже с таким заблуждением попалась)

а.а.а. точно. Дельтоид эта фигура :-)
Значит я неправильно решила :-)

это не ромб. у ромба по определению все стороны равны.

Я исправилась, написала же)
Машинально обозвала это дело ромбом, не знаю, почему. Дельтоид это, Надюша уже подсказала

вижу: "Сложите ромб из двух прямоугольных треугольников с углами 30-90-60..."

Дочитайте до конца.

:ups3 чукча не читатель (самокритика ;) )

:) Это у меня ромбик - это любая такая фигурка. хотя это совсем и не ромбик:)

Легко. Вот вам даже 2 варианта.

вписанный угол PUQ равен углу между хордой PQ и касательной PH, т.е. 25. Этому же равен и любой другой вписанный острый угол, опирающийся на хорду PQ или RS, поэтому угол RTS опять должен быть равен 25, а не 10, как у Вас.
Именно с углов, опирающихся на эти хорды, и можно было бы начать вычисления. Потом добавить прямые углы (те, что опираются на диаметр) и все считается в течение нескольких минут.
Также неправильно вычислены острые углы, опирающиеся на дугу (хорду) TS: у Вас острый угол TPS равен 30, а TRS = 45??? Они должны быть равны, поскольку стягивают одну и ту же дугу.
Как отмечено выше, судя по всему используется неверное утверждение о том, что углы UPR и USR прямые, т.к. UR -- НЕ диаметр.

Спасибо

Занудная задача :)))



Сам я ее до конца так и не дошел, надоело загибать пальцы.

как вы думаете, что кроме теоремы пифагора, аккуратности и усидчивости требуется для решения этой задачи? чему она учит?

Думаю, здесь не теорема пифагора

чистая теорема пифагора.

Разве хватает данных? В средних треугольниках там где зеленый справа и желтый слева не хватит одного куска катета

Хватает. Чистая теорема Пифагора, последовательно снизу вверх. Быстро надоедает эта лесенка.

Мне бегло показалось, чт там затык будет в одном месте. Тогда неинтересно. Сижу подобия ищу, не буду значит)

Я там на пальцах, в уме прошел несколько уровней, потом надо было калькулятор искать, прошел один уровень с калькулятором. И бросил. Не дошел до затыка, может он и есть, но терпение кончилось раньше.

не так страшен черт...
все случилось без калькулятора: x=26. используются, кажется, только целочисленные треугольники 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17 и им подобные.
чертеж не очень правдоподобный: внизу два-три треугольника 6,8,10 (большой темно-зеленый и два одинаковых, с общей гипотенузой небольших темно-голубой и светло-голубой) не выглядят одинаковыми :(

Я не увидела большие цифры 25 между большими зеленым и розовым справа) Респект)

думаю, можно в верхнем зеленом треугольнике ввести две неизвестные и выписать цепочки теорем пифагора сверху. в какой-то момент цепочки сверху и снизу встретятся и получится необходимая система для нахождения этих неизвестных.
называется "задача для попки": сижу на попе и считаю.
скуШно :chr2

не потребовалось. все проще.

Хватает, там всё тупо и нудно выводится из соседних треугольников:-)))

Ну, кроме наборов (3,4,5) и (5,12,13) для целочисленных примеров применения теоремы Пифагора я там еще один набор увидел, но, к сожалению, не запомнил.

Действительно занудная:-))))

вас не смущает, что левый катет верхнего зеленого треугольника у вас равен 18 и расположен внутри гипотенузы правого треугольника, равной 15? в соответствии с чертежом этот катет должен быть меньше гипотенузы 15 на 4 сверху и на 1 снизу :chr2

Да, ошибка там. Поэтому и получился ответ 30 вместо 26

Да, ошибка:-)))

Как здорово, что я прочитала это раньше, чем начала решать :-)

Ошибка в решении, а не в условии, так что, решайте с удовольствием))))

Небольшая подсказка к первой задаче.
Вернее инструментарий для ее решения https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm
или покороче https://uztest.ru/abstracts/?id=11&t=6

Выношу отдельно вопрос, возникший из 1й задачи :
если в четырехугольнике два противоположенных угла прямые, то это может быть не прямоугольник?
Желательно с рисунками

Ответила выше, сюда тоже напишуhttps://eva.ru/topic/77/3595534.htm?messageId=101084353

Я вам выше рисунок прикрепила.

Конечно может. Прямоугольник - лишь частный случай четырехугольника.

Спасибо всем. Я неправильно решила, т.к. шла от своего неверного посыла :-)
Swaan, надо чаще тренировать нас :-)

+Да уж. И не только геометрией, алгебра тоже не помешает)))

Я там вверху написала про ошибку.

Еще задача. Сама пока не решала.
Данная задача была создана Эдвардом Манном Лэнгли в 1922-м году. Он был британским математиком и основателем газеты Mathematical Gazette, где он и опубликовал свою задачу.

Её назвали сложнейшей из простых задач по геометрии, а всё потому, что любой может её решить, используя лишь логическое мышление и элементарные знания в геометрии (например, что сумма всех углов в треугольнике 180 градусов или что если два угла у треугольника равны, то треугольник равнобедренный).

30 и 3часа :-)

Вы меня опередили....
Именно ее я не смог решить с двух попыток и собирался выложить сюда сегодня. Надо решаться на третью.
Не выкладывайте пока решение.

Прикол в том, что я ночью решила на бумажках "каля-маля", сегодня стала красиво рисовать-и не получается повторить решение, в самом конце теряю что-то, а на бумажках "каля-маля" разобрать не могу.
Видать, вечером опять буду решать, а то позор-решение выложить не могу :-)

Третью попытку делаю. Опять ступор. Не задача, а чертовщина какая-то. :)
Что-то под носом не вижу, в плену этой волшебной разбивки углов с шагом в 10 град нахожусь.

Вроде бы получил решение, но он страшно не эстетичное на вид и по этой причине скорее всего неправильное.

Я посидела ночью несколько часов, поняла, что в тупике, и спать надо тоже, и смалодушничала - нашла разбор этой задачи аж в википедии:).
Хочется найти более простое решение, чем у великих умов человечества, но что-то мне подсказывает, что нет его:)

Нет! Это не наш путь!
Я сейчас через теорему синусов пытаюсь продраться. Мешает то, что позабыл всю тригонометрию накрепко.

У меня тангенсы с котангенсами связались в огромную систему уравнений))

Не очень большая система. И вся преобразовалась по формулам из справочника.

Получился ответ? Супер. Я не добила.
Но это в любом случае не легче, чем у источника, который использует для решения сумму углов треугольника и равносторонние/равнобедренные треугольники.

Получился. Уравнение для решения: sin(x+20)/sin(x)=2cos(40) - не очень сложно выглядит и решается в принципе.
Из других треугольников уравнения будут сложнее наверное на вид.
Просто я и в школе не знал всего богатства тригонометрических функций. Увы, не учили этому.

Супер. Мне кажется сложным, я не помню формул разложения для sin (a+b), такие есть?
Они там через доп построение до равностороннего треугольника решают, и дальше ответ в три строчки. Но это надо быть гением, чтобы додуматься..

Это даже сейчас помню. Но в тригонометрии оказалась масса полезных готовых формул, про которые раньше даже не слышал.
Мое решение не изящное, увы. Нашел готовые решения построениями от умных людей в интернете.
Что самое интересное, сам делал подобные построения, но не увидел в них просвета, а он был!!!

Углы пересечения CF и BE 70/110, угол ВЕС 40 град. Угол ВАС вычисляется легко- 20 град, треугольник ВАЕ - равносторонний - два угла 20 град, следовательно угол FEA- 140 г
ред =. ошибка ща)

Да там много углов вычисляется легко. Все, кроме нужного :)

Короче, он 30 град)

Не знаю. Ответ такой получить не могу.
Мой ответ в в виде арккотангенса от такого выражения, что хочется немедленно застрелиться.

нет запрета на построение дополнительных линий)

Решил. Но пришлось прибегнуть к справочнику, формулы которого как по волшебству "развалили" тригонометрическую многоэтажную дробь до числа 1/кв.корень(3), соответственно угол равен 30 градусам.
В общем задача решилась не рисованием вспомогательных линий и треугольников, а банальной манипуляцией с формулами.
Интересно, сможет кто-нибудь найти решение исходя из, допустим, подобия треугольников.

У меня получилось 20 гр, путем построения двух дополнительных прямых для трапеции с тремя равными сторонами и равнобедренного треугольника АЕN. А какой должен быть ответ?

30

Я в интернете нашла-очень красиво.
Автор
Виктор Гоберник.

Я в похожей парадигме решала, только он делит угол 60 на 20 и 40, а дорисовывала угол 40...
Сегодня не смогла. Завтра еще попробую :-)
Как то вчера у меня получилось 70/80/30...

как 90 доказать?

Еще одна подобная задача.

Чертеж приведен без соблюдения масштаба.
Несколько лет назад, эту задачу напечатали в тесте из 12 вопросов для проверки IQ. И тут началось самое интересное. Её никто не смог решить!

Первым шагом я бы перерисовал рисунок. Невозможно решать с рисунком, где 20 градусов почти равны 60

Двоюродная сестра предыдущей задачи :-) 80-80-20

Запутанная кривым рисунком. :)

Я сегодня с удивлением узнал, что cos(20)*cos(40)*cos(80)=1/8.
Сначала сам получил из изучаемого треугольника, а потом в справочнике нашел.
Треугольник далеко не случайный, почти ворлшебный. :)

Такой рисунок лучше

Задачка на вид более сложная. Нет такого богатства равнобедренных треугольников, как в предыдущей.

Ред. Проверю еще раз, заодно решение попробую записать

У меня с налету не получилось решить через тригонометрию, как предыдущую.
А с построениями и их анализом полный швах. (((

Я поторопилась, приняла желаемое за действительное. А так у меня хорошее построение, и я верю, что через него все найдется) Но пока нет)))) Добью

80-80-20 просто волшебный треугольник. На неделе еще одна задачка на его свойства попалась.
Выложу попозже, если будут желающие еще его покрутить. Через тригонометрию ее решил, через построения - увы, руки кривые.

Сложные видимо задачи.
Оттуда же попроще чуть-чуть.

Задачка по геометрии: Есть два квадрата. Найдите площадь зелёной фигуры
На рисунке вы видите два квадрата и один отрезок, соединяющий две вершины этих квадратов, тем самым образовывая новую фигуру.
Также известно расстояние между двумя другими вершинами квадратов - 6 см (см. картинку).
Чему равна площадь фигуры, окрашенная в зелёный цвет?

Пришлось попыхтеть неприличные полчаса. :)

Наметки решения

Простое условие, красивая задача.
В прямоугольнике расположены два прямоугольных треугольника.
Длины трех отрезков известныв и обозначены на рисунке.
Собственно надо найти стороны квадраты.

Приятного вечера!!! )))

Есть. Узнал еще один треугольник с целыми сторонами (24,7, 25).

СПОЙЛЕР
++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++
25 и 50/3

Ага. Совпали ответы.

Шикарная новая задача!
Решается в уме, в одно действие - дерзайте, приводите ум в порядок, получайте удовольствие от собственной находчивости.

Учитель математики из Великобритании Катриона Ширер любит в свободное время составлять геометрические головоломки. Вот одна из них:
Квадрат разделён на пять прямоугольников одинаковой площади.
Известно, что ширина синего прямоугольника равна 2 см.
Надо найти площадь квадрата.

64?

Ага. Иксы с игреками писал сдуру, пока не увидел, что она в одно действие. :)

Если честно, в уме не смогла. Простенькое уравнение. С одной переменной)

Смотрите, под синим прямоугольником лежат три прямоугольника, их площадь, соответственно, три площади синего. Разместите на их месте мысленно три синих друг над другом. :)
И что тут решать? - осталось 2 умножить на 4, чтобы узнать сторону квадрата.
Маскировка очень здорово автором задачи выполнена...

Класс!

но квадратов-то два? Или нет, я сидела и тупила, что квадрат надо узнать внутренний?

А что там узнавать-то? Площадь внутреннего 36. Задача для третьего класса начальной школы. Если не второго. Элементарная. Вот первая задача с углами - это да...

Там нет внутренних квадратов. Площадь одного прямоугольника 12,8. Площадь фигуры под синим, которыую вы назвали внутренним квадратом = 38,4.
так что, не такой уж и 2-й класс)))

Как вы вычислили площадь прямоугольника?

Я не вычисляла площадь прямоугольника отдельно, я просто показываю вам, что квадратов, кроме внешнего там нет.

Площадь одного прямоугольника 12,8.
Это не вы написали?
Мне просто интересно, как вы ее вычислили?

Когда я уже знаю ответ задачи 64, я могу посчитать площадь каждого прямоугольника. Это 64:5

Точно, спасибо! Затупила.

не туда

Здорово) Но через уравнение тоже можно, если это не уловить. Или если надо объяснить тем, кто не понял)

Да конечно. Я тоже вначале уравнения писал. Это наиболее привычный путь. Но не самый простой.

Ответ не всегда можно доказать словами, так что, уравнение не только привычный, но часто необходимый путь)

Можно записать уравнением ваше решение. Х - оставшийся неизвестный кусок стороны квадрата, У - длина синего.
Тогда X*У = 2*У*3
X=6

Новая задачка на ночь?!
Сам пока не решал, не могу оценить ее сложность.

Простая. Но в уме не решить, надо брать карандаш в руки..

Мда... Переоценил себя.
Непроверенный ответ =(8-sqrt2)/9
нет сил проверять.

у меня ответ через sin 45 и tg 27,5. Может и ошиблась где-то, надо переписать начисто

Я шел той же нерациональной дорогой, через тригонометрию, только "довел" ее до конца. Но сделал это неверно, ответ неправильный.
На самом деле ответ очень простой, эффектное решение без тригонометрии вообще. Я его не нашел, прошел совсем рядом, в итоге подсмотрел чужое решение, увы.
Тригонометрия в принципе тоже должна давать правильный ответ, но надо аккуратно пройти через все преобразования.

Да, правильный ответ 2/3

То есть, совсем без тригонометрии есть решение?

Да. Я его сам не нашел, полез в тригонометрические дебри, а оно было перед глазами, но, увы, не увидел.

Написать решение или уже не надо?
..........................

Да, вы нашли то самое решение. Красивое.
Для тех, кто еще не знает синусов и тангенсов. :)

А те, кто знают, исписали три листа бесполезными расчетами)
Я еще так с задачей, которая выше, сижу. День - перечерканный линиями чертеж. Но все вокруг одного и того же, вокруг тех же углов и треугольников, никак не могу выбраться из них и посмотреть с другой стороны

Решила сама) 2/3
Самое сложное почему-то оказалось сообразить, что на что делить, когда хочешь найти часть) Впопыхах разделила наоборот

1/2
Радиусы соотносятся как 1 к 2.

2/3 там правильный ответ. Марс решение нашла и выкладывала выше.

Какие тут умные люди.Я даже до конца прочитать не смогла. Могу посоветовать тональный крем и бигуди/плойку. Ужас.

Еще геометрия.
Все условия на рисунке: на зеленый квадрат наложено три цветных квадрата. Узнать, во сколько раз площадь красного меньше площади зеленого.
Вначале показалась сложной, а потом смог решить в уме.

2,5

У меня ответ 20%, т.е. в 5 раз меньше.

Даже визуально видно, что не в 5. Как решали? Я не в уме, как обычно), так что могу показать расчет

Нашла у себя ошибку, да в 5 раз.

))). Наверное это правильный ответ, если он у двоих получился.
Там просто решается, потому что треугльники 3-4-5. Любимый треугольник у составителей задач. А на первый взгляд задачка выглядит страшно, конечно.

Не выглядит, сразу видно, что данных хватает для теоремы пифагора

У вас бумажка с карандашом была, поэтому вы такая храбрая. :)

Да, я не догадалась в уме треугольник 1,5 и 2 превратить в 3 и 4))
Но там все равно цифры удобные, даже с дробями

Так и я не сразу догадался. Зато когда разбитый на равные отрезочки отрезок приравнял 6 единицам, сторона зеленого квадрата стала 10 сразу, а посчитать квадрат гипотенузы треугольника со сторонами 2 и 4 не особо сложно. ))

Очередная геометрия.
Прямоугольники одинаковые, надо найти угол.
Удалось решить без бумажки, сделав пару мысленных построений.

150?

Ага. Такой же ответ получился.

зачем пару? СПОЙЛЕР
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
достаточно одного :)
обозначим верхнюю вершину наклоненного прямоугольника буквой С, тогда треугольник АСВ прямоугольный, т.к. опирается на диаметр. В нем катет АС вдвое меньше гипотенузы АВ, следовательно, угол АВС равен 30 градусам. На катете ВС лежит диагональ второго прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольника, следовательно, угол между этой диагональю и горизонтальной стороной искомого угла равен 30. Поэтому искомый угол 150.

Ребенок сейчас готовится к дви по математике в мгу, а я его тренирую. так шта это - семечки :cool1

Ну да.
Попробуйте вот такую задачу: в равносторонний треугольнике расположены примерно вот таким образом два квадрата с параллельными основанию треугольника сторонами. Найти угол между их диагоналями надо.
Сломался на том, что не знаю значение угла, тангенс которого равен 2+sqrt(3)

Вы сложным путем пошли. А задача простая, кмк.
Треугольник АВС равнобедренный, зеленые отрезки равны по очевидным причинам. Дальше элементарно.
Нижний квадрат вообще не при делах.

Да, вы правы. Все очевидно, но тем не менее очевидное просмотрел.
Нижний квадрат вообще прилеплен для отвода глаз решающего. :)

Не понимаю, а как можно без нижнего квадрата? Если там прямоугольник, то угол будет любым.

Ничего подобного. Там может быть что угодно, или вообще ничего.) А угол всегда будет одним и тем же, размер верхнего квадрата значения не имеет, имеет значение только его квадратность.))

Вы говорите про угол 75?
Этот да, но без нижней фигуры задача кургузая получится, а с прямоугольником угол между диагоналями будет другим. Мы же его искали

Нижняя фигура нарисована просто для отвода глаз, именно чтоб от "кургузости" избавиться, после того, как будет найден угол 75 гр.

Поэтому и надо упомянуть, что это квадрат. Иначе решения не будет. А вы говорите, что он не используется.

В решении не используется. По конец просто прибавляется 45 гр. Там может быть прямоугольник с нарисованным конкретным углом.

Так прибавляется же! Был бы прямоугольник с углом, была бы другая задача.

Нет, та же самая. Представьте, что у вас в задаче сказано к получившемуся углу ( сейчас это 120 гр) прибавить еще 10. Ну и что, это как-то поможет решить задачу?

Ну вы хотите сказать, что 45 градусов легко посчитать. Угол 60 градусов у равностороннего треугольника посчитать не сложнее. В этом состоит задача.

Ну и посчитали бы. Всегда все просто, после того, как решил кто-то другой.

Вы это серьезно?))))))

А вы? Вашего решения я не видела.

Послушайте, не в обиду Свану, но эта задача действительно очень простая, проще всех предыдущих, нет подвохов, и все углы последовательно ищутся так же просто, как 45 в квадрате. Решите другую, там выше есть одна, которая не получилась ни у кого. https://eva.ru/topic/77/3595534.htm?messageId=101089731

Непременно, но как работы поменьше будет. И не такое решала в топе о китайских задачах.

Так все решали и не такое. Но эта какая-то тупиковая. Тем более она была упомянута чуть не как устная.

Ну вы решили хотя бы не устно? А то время потрачу, а вы опять о своем - типа ручкой на бумажке каждый может.

Нет, я не решила даже ручкой на бумажке. Я вообще все считаю на бумажке, не хватает оперативной памяти делать устно)
И я всегда начинаю с проставления известных углов (поэтому задача выше не была сложной), и в этой непонятной задаче знаю уже все углы во всех комбинациях и всех доп построениях, кроме искомого. Если решите, скажу спасибо, потому что периодически к ней возвращаюсь, надоела уже)

Ок, посмотрю позже.

У меня еще есть одна задачка на этот "чертов" треугольник 20-80-80 в заначке. :)

А ту вы решили в итоге?

Нет, не смог. Пару раз брался.

Решил вроде бы. )))
Построением!!!

Выкладывать решение?
Хотя там надо мои почеркушки еще в порядок привести из состояния хаоса.

Да! Можно в хаотическом виде)

Сейчас нарисую и выложу построение без выкладок.
Надо еще расшифровать мой ночной бред. :)

Особенно интересно построение. У меня и трапеции и прямоугольные треугольники, чего только нет))

Построение и основные мысли тезисно.

Построение удобное, только не могу пока понять, почему АВ1=АО1. То есть, из чего следует, что треугольник А1В1О1 равносторонний? ПС хотя нет, это как раз очевидно
А вот дальше непонятно)))

Он так построен изначально. Линия СО1 продолжена за пределы изначального треугольника, из вершины А на нее опущен перпендикуляр, потом выстроен треугольник АСВ1, который равен изначальному треугольнику. И сравниваются изначальный треугольник и вновь построенный.
Ищутся соответствия между разными углами одинаковых треугольников. И получается, что неизвестному углу Х в изначальном треугольнике соответствует угол АОЕ во вновь построенном треугольнике. Который известен в изначальном и равен 30 градусам. Отсюда следует, что точка 01 лежит на отрезке ЕВ1. (из-за легкого несоблюдения масштаба на моем рисунке этот отрезок выглядит ломаным)
В общем классная задачка!!!

Потому что углы при основании равнобедренного треугольника по 60 град. Значит все углы в нем 60 град, значит он равносторонний. :)
В процессе решения этой задачки сама собой решилась запасная задача, в которой надо было доказать, что АО1 равно ВС. Так что нет у меня больше задач про этот "чертов" треугольник. :)

С этим разобралась, написала выше. Вот дальше как, непонятно. Вроде нет оснований считать, что точка Е лежит на продолжении стороны В1О1 , а не так, как получилось на вашем рисунке)
Интуитивно да, но равенство каких треугольников это доказывает?

Нет оснований, да. Но построенный треугольник тождественен изначальному. И отрезок В1Е в посроенном треугольнике есть эквивалент отрезка ВЕ. А отрезое Е01 в изначальном есть эквивалент отрезка ЕО во вновь построенном. Значит углы между ними равны. И равны 30 град. И отсюда следует, что О1 лежит на отрезке ЕВ1.
Присмотритесь! )))

У меня букв на рисунке не хватает для более внятных объяснений.
Но уверен, что вы сможете сами более аккуратно оформить словами мою идею.

Я не хочу словами, пытаюсь равенством треугольников). Треугольники равны, да, эквивалентность ВЕ и В1Е можно обосновать тем, что равны три угла, значит они подобны, равна одна сторона (основание), значит и эти равны. Но то, что О1 лежит на этом отрезке мы только предполагаем.

Это предположение не является необходимым в рассуждениях. Но в итоге это оказывается именно так.
Отличная задача, радуюсь тому, что удалось ее решить.

Вы на него опираетесь в рассуждениях, когда доказываете равенство маленьких треугольников. Если точка О1 не лежит на ВЕ, то нет маленького треугольника с углом Х и со стороной на отрезке ВЕ

Точка О в треугольнике АБС соответствует точке О1 в треугольнике АСВ1. И если в первом случае она лежит на стороне ВЕ, а это так, то и во втором случае она должна лежать на стороне ЕВ1. Больше ей лежать негде.

Я не придираюсь:), просто несколько раз получала такого рода рисунки, и упиралась именно в обоснование.

Смотрите, вот такое построение: Отложили луч С (10 градусов), продлили EO1, точку пересечения назвали В1.
Из чего следует, что треугольник В1СА равнобедренный?

Из того, что изначально по построению АВ1 было перпендикулярно лучу С01. И углы при вершине С по 10 град. Т.е. СО1 и биссектриса и высота одновременно. Т.е. я изначально новый треугольник рисовал на стороне АС старого трегольника, чтобы он был тождественным треугольнику АВС. А потом уже полезли сами собой свойства из сравнения треугольников.
Сэкономил я на буквах при обозначениях.

Тогда нет отрезка B1Е. Есть отрезки B1O1 и ЕO1. А вы строите рассуждение на равенстве ВЕ и В1Е

Есть отрезок. Чуть выше написал обоснование. Треугольники одинаковые по построрению, второй специально строился так, чтобы быть дублем первого. И если в изначальном треугольнике точка О лежит на отрезке ВЕ, то и в построенном треугольнике она ДОЛЖНА лежать на отрезке ВЕ1.

Не могу я слово должна в решении принять)))
Попробовала описать.
Треугольник дубль первого, согласна. Какие для этого сделаны действия -
1) отложили 10 градусов и сделали биссектрису высотой. Да, идентичные треугольники с равными сторонами и углами.
Дальше какое построение, чтобы говорить про идентичность?
Проведем луч 60 градусов из B1, он пройдет через точку О1 (это как раз доказывается равенством треугольников)
И где-то пересечет сторону АС в точке Е1. Мы не знаем, что она совпадает с Е. И она не должна:)
Опять же через равенство треугольников получаем, что СЕ = АЕ1.
Но это все равно не подтверждает, что Е совпала с Е1.
Жалко нет времени, но вечером попробую обосновать дальше.

Похоже вы правы. У меня ошибка, выдал желаемое за действительное.
Не решена задача.

А я тут готовлю обоснование, чтобы вас уговаривать... )))
Если принять, что отрезок содержит точку O1 и х=30 правильный ответ,
то треугольники B1ЕA и BEC равны.
Тогда стороны В1Е и BE равны. Но сторона BE равна ЕА.
И получается что это B1E=EA, BE=EC - то есть треугольники равнобедренные. А они нифига не равнобедренные.
Значит угол Х 30 градусов не может быть. Вообще.

(я вспомнила, что как-то уже раньше мне это уже попадалось в доп построениях такое вроде очевидное, и я уже писала, что ответ 30 градусов, а потом спохватилась, не может он быть 30)

Нет, мой ответ неправильный, я сам смог обосновать свою ошибку, она достаточно очевидна.
Там меньше 30 град угол, скорее 20 наверное (из пальца). Решения нет.

Жаль, если честно. Она мне уже осточертела)) Но через углы и построения всегда получается вот это все.. Где-то там собака зарыта совсем другая

Вопрос вам для размышления. Если подставить вместо Х любое число - 10, 20, 30 , то нет никаких противоречий при проставлении остальных углов. Не означает ли это, то в задаче не хватает данных, как думаете ? Но обосновать тоже не получается((.

Через тригонометрию решается задача.
20 град ответ. (решение через задницу (подбором т.е.) уравнения sin(x+30)=2sin(50)*sin(x+10), полученного из теоремы синусов).
Т.е. у задачи как минимум одно решение есть.
Построениями никак не получается.

Там всегда квадрат и всегда 45 град.
Собственно и сверху всегда 75 град. вне зависимости от величины верхнего квадрата, но это надо еще доказать. И доказательство это крайне простое при известной наблюдательности (человек выше это показал)

Где всегда квадрат? Нижняя фигура? Почему????

По изначальному условию там два квадрата. Нижний квадрат нужен для того, чтоб "тень на плетень" навести, визуально усложнить задачу.

Как в любой задаче. Мы ищем угол между диагоналями. Вы говорите, что упоминание квадрата было лишним. Но при этом используете угол 45 градусов, то есть информация о квадрате лишней не была.

Просто нарисовали так. Это излишнее условие.
Угол квадрата всегда будет на одной линии лежать (у меня она прямее, чем в исходной картинке, поэтому чуть отклоняется).

Этот угол будет всегда 120, когда фигуры квадраты. Именно когда квадраты. Поэтому это условие необходимо.

Это условие излишне.

Ну решите без этого условия. Нижняя фигура не квадрат. Найдите угол между диагоналями.

Детский сад, простите. )

Не решается? Как же так? Ведь упоминание квадрата было лишним условием.