Олимпиадная задача.
Помогите решить, пожалуйста)
Математический тест содержит 10 вопросов. К каждому вопросу предлагаются два варианта ответа — А и В. Если выбрать любые 5 вопросов и дать на них ответ А, а на остальные 5 — ответ В, то обязательно окажется хотя бы 4 правильных ответа. Сколько можно составить различных списков правильных ответов с таким свойством?
Спасибо!
Не гарантирую правильность, некогда сейчас думать как следует, но по-моему, два варианта: девять А и один Б, и девять Б и один А.
Я могу написать свой ход)
1. Сначала определяем варианты по количеству: сколько Б среди остальных А или наоборот, А среди Б без учета номера вопроса внутри теста.
2. Потом определяем с учётом номера вопроса.
1. Понятно, что это не больше одного Б на девять А, и не больше одного А на девять Б. Так как выборка у нас случайная, надо оценивать самую неудачную выборку. Допустим, это не так, то есть там больше Б среди А - скажем, два Б или больше. Без учёта номера вопроса получаем такой набор: ААААААААББ. Самый неудачный вариант отмечания пяти "А"- пять с правого конца, получаем только три верных ответа, это не подходит, нужно четыре.
Поэтому только так: АААААААААБ или ААААААААААА или БББББББББА или ББББББББББ - всего четыре набора без учёта номера вопроса.
2. Считаем с учётом номера вопроса в тесте: один Б среди девяти А - это десять списков: первый, если Б -первый вопрос, второй -если Б- второй вопрос и тд. Их десять.
Точно также десять списков одного А среди девяти Б.
И по одному варианту, когда сплошные А и сплошные Б
Итого: 22 списка.